基于多重分形理论的图像分割
显然，当减少时，上式能覆盖F的集类是减少的，所以下确界且当
时趋于一个极限，记为：
相应增加，
定义为F的s维豪斯道夫测度。这里的F既可以是分形图形，也可以是欧式几何图形。
豪斯道夫维数时最古老的，也是最重要的一种维数，它对于任何集合都有意义。然而，这种维数在理论上的价值远远大于实用价值。因为实际中的计算豪斯道夫维数时非常困难的。
2.2.2 盒子维数
定义：设集合，这里F所指的是研究的分形体，记的，边为的n维立方体的最小个数，则F的盒维定义为：
是可以覆盖F
立方体。所以，总有下式成立：
对于许多规则的图形，有中的应用也比较广泛。 2.2.3 容量维数
盒子维与Hausdor维一样，也考虑了F的覆盖，只是可以采用同样大小的
。由于盒子维的计算相对比较容易，所以在实际
容量维数是Hausdorff维数的一种简化，便于数值计算。设s是中一有界集，我们计算能够覆盖s且半径为S的球的最少个数为。如果S是一个D维的，具有有限长度（D=1）、面积（D=2）或体积（D=3）的集合，则： 因此
S的容量维数D是该公式的推广，它定义为：
因此S的测度为：
它是有限或是无穷的。
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2.3 多重分形概述
多重分形也称为分形测度，它是分形理论的进一步研究。多重分形弥补了分形理论的不足，因为想要完整刻画自然界中复杂的集合体，仅仅用一个分形维数是不够的，这时候就必须同时用多个维数来描述它，才能全面的刻画其特征。所以，也可以说多重分形理论是分形理论的升华，多重分形理论定量刻画了分形测度定义在某种支撑上的分布状况。 2.3.1 多重分形的定义
通常情况下，描述多重分形的语言有两套。一套是基本语言α~f（α），另一套是从信息论角度引入的q~D（q）语言。 1）α~f（α）语言描述多重分形
假设是d维欧式空间，X是测度的支集，也是的一个d维子集。对集合X进行划分，定义概率不变测度，并将参数，将第n步划分后的X的子集作 定义一个测度空间空间
，若
赋给X。设α是和划分有关系的一个。
是一个分形集，则认为它就是测度
产生的分形集可以表示成
的分形子集。若对集合X进行划分后，
若干分形子集的并集，并且每一分形子集都有不同的维数，则可以将此分星级称为多重分形。 若系：
数。
对概率密度为
，定义：
则
的豪斯道夫r维测度定义为：
若存在临界指数
时，
由定义知，
，使
时，；时，。则称为多重分形的奇异谱。
就是分形子集的Hausdorff维数，当
；
覆盖
的分形子集
的任意可列
覆盖
，即
则称α为holder指数。由于它控制着概率密度的奇异性，因此也称为奇异性指
被划分为尺度为的不同单元，则单元测度
与之间存在着幂律关
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基于多重分形理论的图像分割
当则
时尺寸为的盒子时，若在
。因此当
内概率测度为u的单元个数为时，
有限。由此可得：
与分形维数的定义相比可看出，同值所表示的子集，的连续谱，在2）
的无力意义是表示有相同的值得子集的分
形维数，一般称为多重分形谱。一个复杂的分形体，它的内部可以分为一系列不
就给出了这一系列子集的分形特征。它描述区域维数坐标系中为一单峰图像。
，
语言描述多重分形谱
是从信息论角度引入的用来描述多重分形谱的另外一套语言，测度
支集的单元记作，不变概率测度定义为。第单元的概率定义为
，当时，若，则考虑对测度和维数的贡献大小，
可以做出一下定义：
定义概率测得的阶矩为：
定义广义维测度为：
假设是依赖于的阶矩选择的临界指数，
这里，可以则称为质量指数。
根据的q阶矩，还可以引入广义Renyi维数为：
的定义：
2.3.2 多重分形参量的基本性质 广义维数
与多重分形谱
之间满足勒让德变换：
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性质1：单调性和凹凸性：
① 广义维数② 质量指数
和holder单调递减；
是关于的严格递增的凸函数；
是关于的凸函数。 是信息维数，是信息维数。
是关联维数；
③ 多重分形谱函数 ① ③
是容量维数，时，
性质2：关于几个特殊点值： ②q=0时，
取最大值且
，是容量维数；
2.3.3 经典多重分形谱的计算
描述多重分形的两套等价语言是和奇异谱
和
，如何计算广义维数
是所谓
是研究多重分形的关键所在。常用的直接计算奇异谱
的“接计算法”，而直接计算广义维数的方法有三种；数盒子法，固定板经法和固定质量法。
2.3.3.1 直接计算法
Holder指数和多重分形谱的直接计算方法是由Chhabra和Jensen首先于1989年作为一种计算多重分形谱的方法明确提出，基本思想是用尺度为的盒子覆盖被研究的多重分形集，考虑研究点在第个盒子的概率为
，由此构造一个测度族，即
被研究的多重分形集Hausdorff维数为:
被研究的多重分形集holder指数
的平均值可估计为：
直接计算法是一种实用，高效的高精确度的方法，具有计算步骤简单，计算精确度高等许多优点。在计算机试验中，对于给定的q值，首先要定义并获得相应的分形空间里每个非空间网格里的奇异概率测度
。然后，对于不同的尺
度的，计算并绘制相应的曲线，找出图中的无标度区，用最小二乘法计算该段
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曲线的斜率，其绝对值就是给定q值得holder指数和多重分形谱。
2.3.3.2 数盒子法
广义维数可以直接按照定义进行计算，严格的定义为：
奇异概率测度为
用尺度为的“盒子”对分形空间中的分形集进行划分，定义每个盒子里的
，给定q值，对于不同的尺度，计算并绘制出相应的双对
数曲线，找出图中的无标度区，用最小二乘法计算出该段曲线的斜率，其绝对值就是给定q值的广义维数。
2.3.3.3 固定半径法
固定半径法计算广义维数时，假定计算结果与覆盖区域的选取无关。任意选择一份分形集，考察该分形集上的球体。定义该球体的奇异概率测度为，则可得到固定半径法的计算公式为：
2.3.3.4 固定质量法
如果定义在分形集上的测度足够地平滑，那么对于随机选择的以分形集上的点为球心得球体，可以获得具有质量的相应半径。于是可以得到固定质量法的计算公式为：
上述的各种方法中，提及的奇异测度都应该是非零的，因为测度为零就意味着该区域内不属于所研究的多重分形测度的支撑集，因而是不需要涉及的。
2.4 本章小结
本章介绍了多重分形的一些基本理论背景，简单的多重分形以及分形维数的定义，分形中涉及的测度知识以及计算分形维数的基本算法，重点给出了多重分形和多重分形谱的定义以及一些相关的计算方法。
3 图像分割
在图像的研究和应用过程中，人们往往仅对各幅图像中的某些部分感兴趣。这些部分常称为目标或前景，它们一般对应图像中特定的具有独特性质的区域。
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