第15课 直线、平面垂直的判定与性质
一、目标与要求：理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定与性质 ，会运用已获得
的结论证明一些空间位置关系的简单命题，
二、要点知识：
1、空间中的垂直关系转化与联系：
直线与直线垂直 直线与平面垂直 平面与平面平行垂直
2、直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的 ， 则该直线与此平面垂直。
3、直线与平面垂直的性质定理：一条直线垂直一个平面，则这条直线垂直于这个平面内 的 一条直线。
4、垂直于同一个平面的两条直线 。
5、平面与平面垂直的判定定理：一个平面经过另一个平面的 ，则这两个平面垂直。
6、平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内 与另一个平面垂直。
三、课前小练：
1、已知直线a、b和平面?，下列说法中错误的是（ ） A. a??,b???a?b B. a//b,a???b?? C. a//?,b???a//b D. a?b,b???a//?或a??
2、三棱锥A—BOC中，OA、OB、OC两两垂直，则该三棱锥的四个面中互相垂直的平面的对数是（ ）
A .1对 B.2对 C. 3对 D.4对 3、已知直线a、b和平面?,?,?，可以使???成立的条件是（ ） A. a??,b??,a?b B. a//?,b//?,a?b C. a??,a//? D. ???,???
4、已知直线a??,m表示直线，?表示平面，有以下四个结论：（1）????a//?；（2）a//m,m??????，（3）m//??a?m，（4）若?与a相交，则?必与?相交。其中正确的结论个数有（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5、如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，则三棱锥P—ABC的四个面PAB、PAC、PBC、和ABC中，直角三角形的个数为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
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四、典例分析：
例1、如图，三棱锥S—ABC中，底面ABC是边长为2a的正三角形， SA=SC=a,D为AC的中点。 （1）求证：AC⊥平面SBD
（2）若二面角S—AC—B为直二面角，求三棱锥S—ABC的体积
A
例2、如图，PCBM是直角梯形，?PCB?90?,PM//BC ,PM=1,PC=2,又AC=1, ?ACB?90?,
P
M S
D
C
B
二面角P—BC—A的大小为60? （1）求证：平面PAC⊥平面ABC （2）求三棱锥P—MAC的体积。 C
A
例3、如图所示，已知PA垂直于矩形ABCD所在平面， M、N分别是AB、PC的中点。 (1)求证：MN//平面PAD （2）求证：MN⊥CD
（3）若?PDA?45?，求证：MN⊥平面PCD
B p
A M B
N D
C
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五、巩固练习：
1、直线a与平面?不垂直，则直线a与?内直线垂直的条数有（ ） A.0条 B. 1条 C. 无数条 D. 2、用a、b、c表示三条不同的直线，y表示平面，给出下列命题： ①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；
③若a∥y，b∥y，则a∥b；④若a⊥y，b⊥y，则a∥b.正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①④ D.③④ 3、已知直角△ABC所在平面外有一点P，且PA=PB=PC， D是斜边AB的中点，求证：PD⊥平面ABC.
?内所有直线
P C B
4、三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱垂直底面， AC=3,BC=4,AB=5, AA1=4, (1)求证：AC⊥BC1
(2)求三棱柱ABC—A1B1C1的体积
A
C1
D
B1
A1 C B A 5、（选作）、如图所示，在长方体ABCD?A1BC11D1中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点
（Ⅰ）求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值； （Ⅱ）证明：平面ABM⊥平面A1B1M1
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第16课 立体几何的综合应用
一、目标与要求：会计算直线与平面所成的角，理解二面角的概念，会计算二面角的大
小。
二、要点知识：1、斜线与平面所成的角的几何方法：先过斜线上的一点作平面的____ 再
连接_____斜足（即射影），则斜线与射影所成的角即为所求。 2、二面角：
三、课前小练：
1、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线A1C与平面ABCD所成的角的正弦值为________ 2、在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为______
3、三棱锥V—ABC中，VA=VB=AC=BC=2, AB?23,VC?的大小为_______-
4、如图，在三棱锥S—ABC中，AC⊥平面SBC，已知SC?a,BC?3a,SB?2a, 则二面角S—AC—B的大小为_____
2,则二面角V—AB—C
四、典例分析：
例1、如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是边长a的正方形，PD=a,
(1)若E为PC的中点，求证：PA//平面BDE p （2）求直线PB与平面ABCD所成角的正切值。
E
D
A
B
_ D1 例2．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求平面A1DC1与平面 _ C1
ADD1A1所成角的正切值。 _ A1 _ B1 _ D_ C _ A_ B
C
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五、巩固练习：
1、已知二面角??AB??的平面角是锐角?，?内一点C到?的距离为3，点C到棱AB的距离为4，那么tan?的值等于（ ） A.
33377 B. C. D. 45772、在三棱锥P—ABC中，侧面PBC⊥底面ABC，且PB=PC=BC，则直线PC与底面ABC所成的角的大小为（ ）
A. 30?, B. 45?, C. 60?, D. 90?,
3、四棱锥V—ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为5的等腰三角形，则二面角V—BC—A的平面角的大小为_______
4、已知等腰直角三角形ABC，沿其斜边AB边上的高CD对折，使?ACD与?BCD所在平面垂直，此时，?ACB?________
5、（选作）如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD, SD＝AD＝a,点E是SD上的点，且DE＝?a(0
(Ⅰ)求证：对任意的??（0，1]，都有AC⊥BE: (Ⅱ)若二面角C-AE-D的大小为60，求?的值。
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