【答案】（1）
1；（2）a?2时， DE?2， DE的长为定值． 4p可得出p，求出l1的方程，联2【解析】试题分析：（1）根据抛物线的性质可得P到焦点F的距离为2?立抛物线xQ，故而可得QF， PF，即可得最后结果；（2）设出直线AB的方程为x?ty?m，设A?x1,y1?
B?x2,y2?，与抛物线方程联立，运用韦达定理得y1?y2， y1y2，由OA?OB，得
?ty1?m??ty2?m??y1y2?0，将y1?y2，
DE?2y1y2代入可得m的值，利用直线截圆所得弦长公式得
?a?2?12?1?t22，故当a?2时满足题意.
（2）设直线AB的方程为x?ty?m，代入抛物线方程可得y2?2ty?2m?0， 设A?x1,y1? B?x2,y2?，则y1?y2?2t， y1y2??2m，① 由OA?OB得： ?ty1?m??ty2?m??y1y2?0，
22整理得t?1y1y2?tm?y1?y2??m?0，②
??将①代入②解得m?2，∴直线l:x?ty?2，
∵圆心到直线l的距离d?a?21?t2，∴DE?2a?2??21?1?t22，
显然当a?2时， DE?2， DE的长为定值．
点睛：本题主要考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系，难度中档；抛物线上点的特征，抛物线上任意一点到焦点的距离和到准线的距离相等，即为x0?原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
p，两直线垂直即可转化216
为斜率也可转化为数量积为0，直线与圆相交截得的弦长的一半，圆的半径以及圆心到直线的距离可构成直角三角形.
x2y2?1(a?3)的右焦点为F，右顶点为A.已知OA?OF?1，其中O为原点， e为13．设椭圆2?a3椭圆的离心率.
（1）求椭圆的方程及离心率e的值；
（2）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H.若BF?HF，且?MOA??MAO，求直线l的斜率的取值范围.
??x2y2c166??1. e??;（2）???,??,??【答案】（1）椭圆的方程为?????a24443??
[来源学#科#网Z#X#X#K]8k2?6?12kly?用根于系数的关系得xB?，代入直线的方程从而得. 由BF?HF，得 B4k2?34k2?3BF?FH?0，设H?0,yH?，求两向量的坐标.由（1）知， F?1,0?，得向量坐标FH???1,yH?，
?9?4k212k?4k2?912kyH9?4k2?2?0，解得yH?.因为直线MH与直线l垂直，BF??2,2?. 所以24k?34k?312k?4k?34k?3?19?4k21所以直线MH的斜率为?，由直线的斜截式得直线MH的方程为y??x?.联立直线l的方程
kk12k19?4k2，设M?xM,yM?，可解得点M的横坐标 y?k?x?2?与直线MH的方程y??x?k12k原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
17
20k2?9xM?，在?MAO中，由大边对大角得?MOA??MAO?MA?MO，由两点间的距离公212k?1??20k2?966?1式得?xM?2??y?x?y，化简得xM?1，即，解不等式可得，或. k??k?24412k?122M2M2M??
（2）解：设直线l的斜率为k?k?0?，则直线l的方程为y?k?x?2?，设B?xB,yB?，
x2y2??1由方程组{4 ，消去y，得?4k2?3?x2?16k2x?16k2?12?0， 3y?k?x?2?8k2?68k2?6?12ky?x?解得x?2，或x?，由题意得，从而.BB4k2?34k2?34k2?3
[来源学科网ZXXK]?9?4k212k?由（1）知， F?1,0?，设H?0,yH?，有FH???1,yH?， BF??2,2?.
?4k?34k?3?4k2?912kyH9?4k2??0，解得yH?由BF?HF，得BF?FH?0，所以2.因此直线MH的方程为
4k?34k2?312k19?4k2y??x?.
k12k220k?92 ，消去y，解得x?设M?xM,yM?，由方程组{，在?MAO中， M19?4k212k?1y??x?k12ky?k?x?2????MOA??MAO?MA?MO，即?xM?2??y?x?y2M2M22M20k2?9?1，解，化简得xM?1，即212k?1??得k??66，或k?. 4418
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
所以，直线l的斜率的取值范围为???,?????66. ???,????44?【点睛】1、求椭圆的方程就是求a,b的值，从条件中找a,b,c的关系，注意a2?b2?c2的运用；2、求离心率是求a,c的值，或找a,c的关系；3、在?MAO中，由大边对大角得?MOA??MAO?MA?MO，由点M是直线MH与直线l的交点，故根据条件设两直线的方程，求交点坐标，根据MA?MO得关于直线l的斜率为k?k?0?的不等式求解.
214．已知函数f?x??ax?x?lnx（a?R）.
??（1）若f?x?在x?1处取到极值，求a的值；
（2）若f?x??0在1,???上恒成立，求a的取值范围； （3）求证：当n?2时，
?111n?1?????. ln2ln3lnnn【答案】(1) a?1；(2) a?1；(3)证明见解析.
解析：（1）f'?x??2ax?a?1， x∵f?x?在x?1处取到极值， ∴f'?1??0，即a?1?0，∴a?1，
经检验， a?1时， f?x?在x?1处取到极小值.
2ax2?ax?12（2）f'?x??，令g?x??2ax?ax?1（x?1），
x1°当a?0时， f'?x???1?0， f?x?在?1,???上单调递减，又f?1??0， x原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
19
∴x?1时， f?x??0，不满足f?x??0在1,???上恒成立. 2°当a?0时，二次函数g?x?开口向上，对称轴为x??1，过?0,?1?. 4①当g?1??0，即a?1时， g?x??0在1,???上恒成立，∴f'?x??0，从而f?x?在1,???上单调递增，
??3°当a?0时，二次函数g?x?开口向下，对称轴为x?1， g?x?在?1,???单调递减， g?1??a?1?0， 4∴g?x??0， f?x?在[1,+?）上单调递减，又f?1??0，∴x?1时， f?x??0，故不满足题意. 综上所述， a?1.
2（3）证明：由（1）知令a?1，当x?1,???时， x?x?lnx?0（当且仅当x?1时取“?”），
???∴当x?2时，
1211111?2?????????.即当x?2,3,4，…， n，有22lnxx?xnl2n3lnl22n33??1n?n2
?1111????? 1?22?33?4n?1n??1n?11??1??11??11??1. ??1???????????????? ?1??nn?2??23??34??n?1n?点睛：这个题目考查了导数在研究函数极值和单调性，最值中的应用，最终还用到了赋值的思想，证明不等式.其中有典型的恒成立求参的问题.一般是转化成函数最值问题，或者先变量分离，将参数和变量分离到不等号的两侧，再转化为最值问题.
x215．已知函数f?x??eax?2x?2， a?R且a?0.
??（1）若曲线y?f?x?在点P2,f?2?处的切线垂直于y轴，求实数a的值； （2）当a?0时，求函数f???sinx?的最小值；
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
20