摘 要
级数理论是数学分析的重要组成部分，研究级数对于深入探讨数学分析问题有着深远的意义。级数理论中最重要的问题和学者研究最多的问题则是关于级数收敛与发散的问题。级数的收敛与发散性质更是级数存在当中的最基本的立足点。
基于级数发散和收敛的问题，本文对级数进行了比较详细和系统的介绍，并在级数收敛性方面进行了较为详细的概括，包括级数的分类和收敛性的总结和应用。本文第一个部分首先对常见的级数：常数项级数、正项级数、交错级数、函数项级数、幂级数、傅立叶级数，进行了大概的介绍，并从常见级数的定义、常见级数的分类、级数收敛发散的充要条件和对应级数常用的收敛判别方法进行详细的分析概括。
本文的第二个部分针对具体的级数收敛方法，从方法的定义和方法的具体例子应用两个方面对其进行较为全面的介绍和分析，其中包括：判别级数发散与收敛的简单方法、比较判别法、比值判别法、高斯判别法、达朗贝尔判别法、对数判别法、积分判别法、拉贝判别法、柯西判别法。
最后，本文第三部分通过整理级数散敛性判断的方法，对本文进行一个综合的概括，主要从基于级数类型的方法和基于通项特征的方法两个方面总结了解答收敛性问题的分析思路和如何更快的寻找有效的方法。
关键词 ： 级数 敛散性 方法
I
Abstract
Progression theory is an important part of the mathematical analysis. The study of series is of profound significance for further discussing mathematical analysis problems. Series convergence and divergence problem is the most important question in progression theory that many researchers research on. For the analysis, series convergence and series divergence is of the basic foothold existing in mathematical analysis.
Firstly, based on the series convergence and series divergence, this thesis gives a detailed and systematical introduction to series, and a more detailed summary of series convergence, including the classification of series, application of convergence. Firstly, this paper has a general introduction to common series, including constant series, series of positive term, staggered series, series with function terms, power series, fourier series. Besides, the paper has detailed analysis and summary of the definition of common series, the classification of common series, and the sufficient and necessary conditions for the convergence series, together with the commonly used identification methods of corresponding series.
And then the second part of this article has a comprehensive introduction and analysis of the method’s definition and specific examples application of the method, including: simple method distinguishing the divergence of a series , comparative method, ratio method, Gauss method, D'Alembert discriminant method, Logarithmic method, integral method, Rabe method, and Cauchy method.
Finally, the third part of this paper made a comprehensive summary through sorting out identifying methods of series convergence and divergence. Based on the types of series and the methods of general term characteristics, this paper summarized the analysis mentality and effective ways of solutions to convergence problem.
Key words: Series Convergence Mathod
II
第一章 引言
级数理论是数学分析的重要组成部分，与极限理论有密切的联系，它与另一个分支微积分学一起作为基础知识和工具出现在其余各分支中。级数是研究函数的一个重要工具，在理论上和实际应用中都处于重要地位，这是因为一方面能借助级数表示许多常用的非初等函数，微分方程的解就常用级数表示；另一方面又可将函数表为级数，从而借助级数去研究函数，例如用幂级数研究非初等函数，以及进行近似计算等。
III
广东石油化工学院本科毕业论文：级数敛散性总结
第二章 级数基本概念
2.1 级数的定义
其定义如下：设un?R,n?1,2,3?，记所有无限项加起来的和为
?un?1?n?u1?u2?u3???an??
而?un则称为级数。
n?1?注：数项级数或无穷级数也常简称级数。
2.2 级数的分类
级数的种类繁多，并没有很详细的分类标准，本文考虑从通项的内容来看，主要分成两大类：数项级数和函数项级数。 数项级数：通项没有含有函数的的级数。 等比级数：（又称几何级数）形如
u?uq?uq2?uq3???uq4??
其中q?0 ，称为等比级数。
调和级数：形如
11111???????? 234n称为等比级数。
正项级数：若数项级数的各项的符号都相同，则称为同号级数。对于同号级数，只须研究各项都是由正数组成的级数——称为正项级数。
交错级数:若级数的各项符号正负相间，即：
u1?u2?u3?u4?????1?n?1un???????un?0,n?1,2,3??
称为交错级数。
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第二章 级数基本概念
一般项级数：没有以上特点的数项级数。
函数项级数：如果级数的每一项依赖于一个连续变量x，un?un?x?,x在一个区a?x?b上变化，这个级数就成为一个函数项级数，简称函数级数，记为?un。
n?1?幂级数：有幂级数列un?x?x0?所产生的函数项级数，即形如
?n??un?x?x0??u0?u1?x?x0??u2?x?x0????un?x?x0???
n?0?n2n的级数成为幂级数。
傅立叶级数：一般地说，若f?x?是以2?为周期且在???,??上可积的函数，以f?x?的傅立叶系数的三角级数
a0?f?x?????ancosnx?bnsinnx?
2n?1称为f?x?的傅立叶级数，其中
an?bn?f?x?cosnxdx,n?0,1,2,?, ????1?f?x?sinnxdx,n?1,2,3,?, ????1?称为傅立叶系数。
泰勒级数：设函数f?x?在点的某一邻域内具有直到n?1阶导数，则形如
?n?0?f?n??x?n!?x?a?n
称为泰勒级数。
Laurent级数：如果函数f?x?在环形域R1?x?a?R2解析，则可以展开为
f?x??n????cn?x?a?
??n其中
cn?f???1d?????n?0,?1,?2,??
2?i?k???a?n?1
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