第三章 级数敛散性判别法
limun?1?q则有
n??un?(1)如果q?1，那么级数?un收敛。
n?1?(2)如果q?1，那么级数?un发散。
n?1证明：(1)对于取定的???0,1?q?，存在n0??，使得只要n?n0，就有
un?1?q???1. un1，存在n0??，使得只要n?n0，就有(2)对于取定的???0,q??un?1?q???1. un推论 设?un和?vn都是严格的正项级数。
n?1n?1??(1)如果级数?vn收敛，并且存在n0??，使得
n?1?unv?n,?n?n0，那么级un?1vn?1数?un 也收敛。
n?1?(2)如果级数?vn发散，并且存在n0??，使得
n?1?unv?n,?n?n0，那么级un?1vn?1数?un 也发散。
n?1?例题1 试判别级数?解：由于
n!的散敛性。 nn?1n?n??n?1?!un?1n!???1??1?n?lim?lim?/?lim?lim1/?1?????1 ????n?1?nn??un??n??n?1n???n??????n??en??n?1??由达朗贝尔定理可知，级数?n!收敛。nn?1n19
?广东石油化工学院本科毕业论文：级数敛散性总结
5n例题2 试判别级数?的散敛性。
5n?1n?解：由于
u?n?limn?1?lim5???5?1 n??un???n?1?n55n由达朗贝尔定理可知，级数?发散。
5n?1n?3.5 对数判别法
对数判别法（普通形式） 设?un是严格的正项级数。
n?1?1?un若从某一项起有?p?1，则有级数?un收敛；若从某一项起，
lnnn?1lnln1?un?1，则有级数?un发散。 lnnn?1对数判别法（极限形式） 设?un是严格的正项级数。
n?1?1??un?p，则当p?1时，级数?un收敛；当p?1时，级数?un发散；设
lnnn?1n?1ln当p?1时，级数?un有可能收敛也有可能发散。
n?1?例题1 试判别级数
111??????的散敛性。 ln?2!?ln?3!?ln?n!?解：因为当n?2时，有nn?n!，所以
nlnn?lnn!
11?ln?n!?nlnn20
第三章 级数敛散性判别法
?11但由于?发散，因此级数?发散。
nlnnlnn!????n?1n?2?1111??????的散敛性。 例题2 试判别级数?33n33333333?3?3解：由题可知，un?31111????2n
因为
1??11???????lnn?c?n???,c为欧拉常数 2n??所以
un?1????3?但是
lnn?1?????3?1??1?1?????n??2?1??????? n???3?c?3n?1?1lnn??n?1?1nln3，ln3?1
则有级数??1ln3n?1n收敛，从而级数?un收敛。
n?1?1202!?20?3!?20?4!?20?例题3 试讨论级数1?????????????的散敛
2732?7?43?7?54?7?234性。
解： 由题可知，级数的通项为
n?1n?1?!?20??un???????n?1,2,3?? ?n?1??n?7?则有
un?1?n??20??????unn?1?????7?
120201??????????????1????n?n??7e?1??7?1????n?n21
广东石油化工学院本科毕业论文：级数敛散性总结
由对数判别法可知，原级数发散。
3.6 积分判别法
柯西积分判别法：设函数f?x?在??1,???单调下降并且非负，则级数?f?n?n?1?与广义积分???1f?x?dx同为收敛或同为发散。
证明：依题意得，f?x?为?对于任意的正数A，f?x??1,???上的非负减函数，在??1,A?上可积，从而有f?n???mmm1nn?1f?x?dx?f?n?1?,n?2,3?，依次相加可得
?f?n???f?x?dx??f?n?1???f?n?，若此积分收敛，则上式的左边，对于
n?2n?2n?2m?1任何的整数，有sm??f?n??f?1???f?x?dx?f?1???n?21??mm??1f?x?dx，于是级数
?f?n?收敛。反之，若级数?f?n?为收敛级数，则上式的右边，对于任意正整
n?1n?1数m?m?1?有?f?x?dx?sm?1??f?n??s，因为f?x?是非负减函数，故对任意
1n?1m?的正数A，都有0??f?x?dx?sn?s,n?A?n?1，根据上式得?1A??1 f?x?dx收敛。
同理可证级数?f?n?和积分?n?1???1f?x?dx是同时发散的。
例题1 试判别级数?解：将级数????1的散敛性。 3nn?1???11dx，由于 换成积分形式?313xn?1n?即???1111dx??x32x2??1?1??1?11?lim?????0?? ???2p??22?2p??2??11dx收敛，根据积分判别法可知，?也收敛。
33xn?1n22
第三章 级数敛散性判别法
1例题2 试判别级数?的散敛性
n?1n??11解：将级数?转化成积分的形式?dx，由于
1nxn?1???即???1??11??dx?lnx1????0???， x?11dx发散，根据积分判别法可知，级数?发散。 xn?1n3.7拉贝判别法
拉贝判别法（普通形式）设?un是严格的正项级数。
n?1???un??1??q,?n?n0，那么级数?un（1）如果存在q?1和n0??，使得n?un?1?n?1?收敛。
??un??1??1,?n?n0，那么级数?un发散。 （2）如果存在n0??，使得n?n?1?un?1?证明：（1）由题可得
1?pn?1n?unq?1?,?n?n0，取一实数p，满足1?p?q，则级un?1n数收敛，另
pvn?1np，则对于充分大的n有
?vn?1?pqun?1???1???1??O???1??，所以，级数?un也收敛。
2vn?1?n?nnun?1?n?n?1（2）由题意得，
unun?11?11n?1??,?n?n0，因为级数?发散，所以级数
1nn?1nn?1?un?1?n也发散。
?拉贝判别法（极限形式）设?un是严格的正项级数，并且以下的极限存在，
n?123