广东石油化工学院本科毕业论文：级数敛散性总结
(2)如果级数?vn发散，??0，那么级数?un也发散。
n?1n?1??证明：（1）对于取定的??0，存在n0??，使得只要n?n0，就有也就是
un??????vn,?n?n0
un????，vn （2）对于取定的???0,??，存在n0??，使得只要n?n0，就有
un????，也就是 vnun??????vn,?n?n0
x??例题3 设x??0,??，试判断级数??1?cos?的散敛性。
n?n?1??解：容易知道
1?coslimn??xn?x2 12n2?1x??因为级数?收敛，所以级数??1?cos? 收敛。
2n?n?1nn?1??1例题4 试判断级数?ln(1?)的散敛性。
nn?1?解：容易知道
?1?lim??1???limln?N?1???? N??n?N??n?1??11因为级数?发散，所以级数?ln(1?)发散。
nn?1nn?1?N
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第三章 级数敛散性判别法
3.2.2 比值判别法
运用比较判别法来解决级数散敛性问题是一种广泛应用的方法，但前提是需要找到一个能用来做比较的级数，要找到一个合适的级数并不容易，所以很多时候就要用到以下的比值判别法：
设有正项级数?un，如果limn?1??un?1??，则
n??un（1）当??1时，级数?un收敛；
n?1?（2）当??1时，级数?un发散；
n?1?（3）当??1时，级数?un可能收敛也可能发散。
n?1例题5 试判别级数?3ntann?1??4n的散敛性。
解：因为
limun?14n?1?3?1 ?limn??un???4n3n?tan4n?3n?1?tan?故根据比值判别法可知，原级数?3ntann?1?4n收敛。
例题6 试判别级数?解：因为
1的散敛性。 2n?11?n?11??n?1?un?11?n2lim?lim?lim?1 n??un??n??2?2n?n21n1?n2215
广东石油化工学院本科毕业论文：级数敛散性总结
?111因此，比值判别法失效，但0?，而级数?是收敛的，可以根据比?2221?nnn?1n较判别法可知，原级数?1也收敛。 21?nn?1?3.2.3 活用比较判别法
当所求级数的通项中出现关于n的有理式时，比较对象常常选择P级数或者调和级数。
例题7 试判别级数?解：因为
11?
2n?n?1?n?11又由于?收敛，则由比较判别法可知，级数?也收敛。
2nn?1??n?1n?1n?1的散敛性。
n?1n?n?1??例题8 试判别级数?解：因为
n?1的散敛性。 42nn?1?n?1n?n2n1， ???2n42n42n4n3?1n?1又由于?收敛，则根据比较判别法可知，原级数?也收敛。
34n2nn?1n?1?例题9 试判别级数?解：因为
n?1的散敛性。
2n?12n?n?5?1nnn?1 ???2222n2n2n?n?52n?n?5?1n?1又有级数?发散，根据比较判别法可知，原级数?也是发散的。
2?n?5n2nn?1n?1?16
第三章 级数敛散性判别法
例题10 试判别级数?2nsinn?1??3n的散敛性。
解：考虑到当x?0时，sinx?x，则
?2?sin?,2nsin?2n????? 3n3n3n3n?3?????n2?2?而????是公比q??1的收敛级数，故根据比较判别法可知，原级数
3n?1?3??n?2nsinn?1??3n收敛。
?n2?1例题11 试判别级数?ln的散敛性。
2nn?1解：由于
n2?11?1? ln?ln?1??2?2n2nn??而?1是收敛的级数，所以原级数收敛。 2n?1n?3.3 柯西判别法
柯西根式判别法（普通形式）设级数?un是正项级数，
n?1?(1)如果存在r?1和N??，使得nun?r,?n?N，那么级数?un收敛。
n?1?(2)如果对无穷个n有un?1，那么级数?un发散。
n?n?1柯西根式判别法（极限形式）设?un是正项级数。并设存在极限limnun?q，
n?1?则有
(1)如果q?1，那么级数?un收敛，
n?1?17
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(2)如果q?1，那么级数?un发散。
n?1?证明：（1）对于取定的???0,1?q?，存在N??，使得nun?q???1,?n?N。 （2）对于取定的???0,q?1?，存在N??，使得nun?q???1,?n?N。
?n?例题1 判别级数???的散敛性。
2n?1?n?1??n解：由于
n1?n?limnun?limn??lim??1 ?n??n??n??2n?12?2n?1?n?n?根据柯西判别法可知，级数???收敛。
2n?1?n?1??n2n例题2 试判断级数?的散敛性。
lnn3n?1?解：由于
2n22limun?lim?limlnn??2?1 n??n??3lnnn??3n30nn2n根据柯西判别法可知，级数?发散。
lnn3n?1?3.4达朗贝尔判别法
达朗贝尔判别法（普通形式） 设?un是严格的正项级数。
n?1??un?1?r,?n?n0，那么级数?un收敛。 (1)如果存在r?1和n0??使得unn?1?un?1?1,?n?n0，那么级数?un收敛。 (2)如果存在n0??使得unn?1?达朗贝尔判别法（极限形式） 设?un是严格的正项级数。并存在极限
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