第三章 级数敛散性判别法
第三章 级数敛散性判别法
3.1 判别级数发散的简单方法
（注：面对一道通项有规律的判定收敛性的题时，最初的想法应该从定义下手）
定义：如果级数?un 的部分和数列?Sn?有极限，则?un收敛，反之发散。
n?1n?1??例题l 判别级数?解：因为
1的散敛性。
nn?1??n?1?un?11 ?nn?1故级数的部分和
N11??1Sn???????n?1?n?1n?n?1?n?1?nN1??1??11??11??1???????1????????????????，
?2??23??34??NN?1?1??????1?N?1又因为
1??limSn?lim?1???1 n??n???n?1?所以，原级数收敛。
例题2 判别级数?解：因为
NN111?1?1?1??1???2??2,?N?? ?????2nnn?1n?1nN???n?1n?2n?2???1的散敛性 2nn?1?? 所以级数?
1收敛。 2nn?1??9
广东石油化工学院本科毕业论文：级数敛散性总结
例题3 判别级数?n?1??1是否收敛。 n解：因为
?n?1N11?N?N,?N?? nN所以级数?n?1??1发散。 n3.2 比较判别法
3.2.1 定理及其极限形式
为了考查一个正项级数的散敛性，常用另一个已知是收敛的或者已知是发散的正项级数来与之作比较（可见比较判别法只用于正项级数）。
在此先引入几个常用来做比较的级数：几何级数、调和级数、P级数。 等比级数：（几何级数）判别法：级数?uqn?u?uq?uq2???uqn??(u?0)n?0?叫做等比级数，下面讨论该级数的散敛性。 解：（1）如果q?1，则部分和
Sn?u?uq?uq???uq2n?1u?uqn ?1?q?u当q?1时，由于limqn?0，所以limSn?，因此级数?uqn 收敛，其
n??n??1?qn?0和为
u； 1?q??当q?1时，由于limqn??，所以limSn??，因此级数?uqn级数?uqn发
n??n??n?0n?0散。
（2）如果q?1，则有
10
第三章 级数敛散性判别法
当q?1时，Sn?nu，从而limSn??，所以级数?uqn发散；
n???n?0当q??1时，Sn?u?u?u?u??，所以有S2n?0，S2n?1?u从而limSn不存
n??在，所以级数?uqn发散；
n?0?由上可知:当q?1时，等比级数?uq收敛；而当q?1，等比级数?uqn发
nn?0n?0??散。
1111调和级数：级数1????????称为调和级数，试讨论该级数的散敛
234n性。
解：令f(x)?lnx，由拉格朗日中值定理可知，存在???N,N?1?。使得
ln?N?1??lnN(N?1)?N?ln'?
即
ln?N?1??lnN?1?1???(N为整数) N?所以有
N?1?时，ln2?ln1?11N?2?时，ln3?ln2?21N?3?时，ln4?ln3?,
3??????1N?n?时，ln2?ln1?n将上面所有式子的两端分别相加得
111ln?n?1??1?????
23n111其中 1?????为调和级数的部分和Sn
23n因为
limSn?limln?n?1????n??n??11
广东石油化工学院本科毕业论文：级数敛散性总结
1所以,调和级数?发散。.
n?1n?P级数：级数?1(p?0)称为P级数,试讨论该级数的散敛性. pnn?1?解:(1)当p?1时,这时级数的各项都不小于把调和级数的对应项,即
11? npn1由前面可知调和级数?发散,由比较判别法可知该级数发散.
n?1n?(2)当p?1时,把P级数写成
1??1111??11??11??????????????p?ppp?ppp?p?234567815??????1??1111??11??1?1?????????????p??p??? pppppp2??4444??88??2111?1??2p?1?3p?1??2p?12??2??而1?12?p?1?122?p?1??123?p?1???是一个等比级数,且p?1,其公比q?12p?1?1,于是
级数?1p?1n?12收敛,由比较判别法可知,P级数收敛.
综上所述,当0?p?1时,P级数收敛;当p?1时,P级数发散. 在介绍几个常用来比较的级数后,接着介绍比较判别法 比较判别法定义 ：设?un和?vn是正项级数，则
n?1n?1??(1) 如果?vn收敛，并且存在c?0和n0??，使得un?cvn,?n?n0，那
n?1?么级数?un也收敛；
n?1?(2) 如果?vn发散，并且存在c?0和n0??，使得un?cvn,?n?n0，那么
n?1?12
第三章 级数敛散性判别法
级数?un也发散。
n?1? 证明：(1)对于?un??un?n?1n?1Nn0?1n?n0?uNn?n0?1n?1?un?c?vn??un?c?vn，因
n?n0n?1n?1Nn0?1N?N??N?为??vn?有上界，所以??un?也有上界。 ?n?1??n?1??1 (2)反证法：对于vn?un,?n?n0，如果级数?un收敛，那么根据上面的
cn?1??结论，级数?vn也应该收敛，但这与题设所矛盾。所以?un是发散级数。
n?1n?1例题1 设x??0,??，试判断级数?sinn?1?x的散敛性。 2n解：由题意得
sin?xx?,?n?2 n2n2?1x因为级数?收敛，所以级数?sin 也收敛。
22nn?1nn?1?例题2 试判断级数?n?114n?3的散敛性。
解：容易知道
1111???,?n??， 4n?34n2n因为级数?n?1??11发散，所以级数?发散 n4n?3n?1??推论：设?un和?vn是正项级数，并且设极限limn?1n?1un??,(0?????)存vn在，则有：
(1)如果级数?vn收敛，????，那么级数?un也收敛，
n?1n?1??13