第四章 级数敛散性比较及应用
11??n?1?un?11?n2lim?lim?lim?1 n??un??n??2?2n?n21n1?n22因此，比值判别法失效。
?111(4)现在考虑比较判别法，由于0?，而级数?是收敛的，可以?2221?nnn?1n根据比较判别法可知，原级数?1也收敛。 21?nn?1?4.1.2 对幂级数
若给出的级数是幂级数，一般可以利用以下的方法来进行判断： (1)首先要求出收敛域，利用式子??limun?11求出收敛半径R?，从而确un?n??定幂级数的收敛区间??R,R?，将x??R分别代入幂级数中，此时的幂级数就成为了常数项级数，然后就可以按照常数项的散敛性判别法判断其散敛性。
(2)很多时候可以通过一些幂级数的展开式间接的将一些函数展开成幂级数，具体如下：
x2xne?1?x????????????????,???
2!n!xsinx?x?x3x5x7x2n?1n???????1?????????????,??? 3!5!7!2?2n?1?x2x4x6nx2ncosx?1????????1?????????????,???
2!4!6!?2n?!ln?x??x?x2x3nxn?1??????1????????????1,1? 23n?1?1?x?11?1?mx?m?m?1?x2?m?m?1??m?2?x33! 12n??????????????????m?m?1???m?n?1?x???????????1,1?n!m(3)将一个函数f?x?直接展开为x的幂级数的步骤如下：
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广东石油化工学院本科毕业论文：级数敛散性总结
A．求出f?x?的各阶导数，再求出函数及各阶导数在x?0处的函数值，若某阶导数不存在，就停止进行，此时函数f?x?不能展开为x的幂级数。
B．写出f?x?在x0?0处的泰勒级数，并求出其收敛域。
C．考查在其收敛域内是否有limRn?x??0，若极限为零，则第（1）中求
n??出的幂级数就是函数f?x?的展开式，若极限不为零。则幂级数虽然收敛，但它的和并不是所给的函数f?x?。
D．最后写出f?x?在x?0点的泰勒展开式。 例题2 将函数f?x??ex展开成x的幂级数。 解：①求出f?x?的各阶导数及其在x?0处的函数值：
f'?x??ex，f''?x??ex,?,f?n??x??ex
?n?f?0??1,f'?0??1,f''?0??1,?,f?0??1
②因此f?x?在x0?0处的泰勒级数为：
1?x?121x???xn?? 2!n!其收敛半径为R???，收敛区间为???,???。 ③对任意有限数x,??0???x?余项的绝对值
xe? Rx?x???xn?1?ex??n?1?!?n?1?!由比较判别法知道??n?1xn?1n?1?n?1?!收敛，又有级数收敛的必要条件有
limn??xn?1?n?1?!?0
而ex相对于n是一个常数，则有
limRn?x??limex?n??n??xn?1?n?1?!?0
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第四章 级数敛散性比较及应用
④f?x??ex的泰勒级数为：
ex?1?x?121x???xn????????,??? 2!n!4.1.3 对于傅立叶级数
若是需要化为傅立叶级数，一般可以利用以下的方法来进行判断（韩志刚，2003）：
将周期函数f?x?在???,??上展开为傅立叶级数的步骤 (1)运用收敛定理判断f?x?是否满足收敛条件。 (2)若满足收敛定理条件，则求出傅立叶系数。 (3)写出傅立叶级数并注明在何处收敛于函数f?x?
例题3 设f?x?是周期为2?的周期函数，在???,??上的表达式为
?0???????????x?0f?x???
?x????????0?x??将函数f?x?展开为傅立叶级数。
解：函数f?x?的图形如下，所给的函数在x??2k?1????k?Z?处不连续，而在其余点处都连续，满足收敛定理的条件。
f?x? ? 3? 2? ? 0 ? 2? 3? x
图2 函数图像
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广东石油化工学院本科毕业论文：级数敛散性总结
当x??2k?1??????k?Z?时，傅立叶级数收敛于
??02??2
当x??2k?1??????k?Z?时，傅立叶级数收敛于f?x?。 下面计算傅立叶系数
a0?an?11?????f?x?dx?11????0xdx??2
?????f?x?cosnxdx???0xcosnxdx1???????xd?sinnx?n??011????????xsinnx?0?n?n?1???????cosnx?0?n2???01sinnxdxn
?2???????n?1,3,5,??1??n2????????n?????1??1???20n???0???????????????n?2,4,6,?bn?1???f?x?sinnxdx?????1?0xsinnxdx1????????xd?cosnx?n??011?????????xcosnx?cosnxdx??0?0n?n?n?1?1??1?????????sinnx?0nnxn?1?1????????n
于是，函数f?x?的傅立叶展开式为
?2?11?f?x????cosx?cos3x?con5x???4??3252??????????111????????????????sinx?sin2x?sin3x?sin4x?
234????????????????????????x???,x??2k?1?,k?Z??
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第四章 级数敛散性比较及应用
4.2 基于通项特征的方法总结
按照上面所说的方法的确可以有效的使我们更快的判断级数的散敛性，但是对于通项一些有明显的一些特征的时候，可以采取下面的一些方法，以便更快的达到判断的效果。
(1)对于求级数的散敛性，首先要研究出其通项。但是当级数可化为含参数的一般式、通项为等差或等比式或通项为含二项以上根式的四则运算且通项极限无法求出时，可以选用正项级数的充要条件进行判断。如（张筑生，2008）：
1111??????? 23n1取0??0?，?n??，若令p?n，有
21111Sn?p?Sn????????0
n?1n?22n2所以级数发散。
(2)当级数一般项如含有sin?或con?等三角函数的因子可以进行适当的放缩，并与几何级数、P级数、调和级数进行比较limun?1、limnun不容易算出或n??n??un者limun?1?1等此类无法判断级数收敛性或进行有关级数的证明问题时，应选用
n??un?比较判别法。例（胡适耕、张显文，2008）：?n?1?na?1??a?1?、?n?1??1?lnn?lnn。
比较判别法使用的范围比较广泛，适用于大部分无法通过其它途径判别其敛散性的正项级数。
(3)当级数通项un含形如nx、an、n!的或分子、分母含多个因子连乘除时，
??n2n!2nn!选用比式判别法。例（孙清华、孙昊，2003）：?、?、?、
nnnn?13n?14n?1n??n2arctann?1??2n?1。
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