广东石油化工学院本科毕业论文：级数敛散性总结
?u?lim?n?1??q n??u?n?1?（1）如果q?1，那么级数?un收敛。
n?1??（2）如果q?1，那么级数?un发散。
n?1?1?3???????2n?1??，当r?1,2,3是的收敛性。 例题1：试讨论级数???2?4??????2n??n?1???r解：当s?1时，
?u?2n?1?n1?limn?1?n?1??limn?1??lim??1， ?n??n??n??un?2n?22?2n?2???1?3???????2n?1??发散。
容易根据拉贝判别法可知，级数???2?4??????2n??n?1???1当s?2时，
??2n?1?2?n?4n?3??un?1?limn?1??limn1??lim?1， ???n??????n??2n??u2n?2???2n?2?n?????1?3???????2n?1??发散。
容易根据拉贝判别法可知，级数???2?4??????2n??n?1???2当s?3时，
??2n?1?3?n?12n2?18n?7??un?1?3limn?1??limn1??lim??1， ???n??????n??3n??u2n?22???2n?2?n?????1?3???????2n?1??收敛。
容易根据拉贝判别法可知，级数???4???????2n??n?1?2??3从上面我们可以看出,有些比值判别法不能判别的可用拉贝判别法可以判别,但是用拉贝判别法也同样要受到比较因子的精确度的限制。
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第三章 级数敛散性判别法
3.8高斯判别法
设?un是严格的正项级数，并设有
n?1?un???1??????o??， un?1nnlnn?nlnn?则有
(1)如果??1，那么级数?un收敛；如果??1，那么级数?un发散。
n?1n?1??(2)如果??1，??1，那么级数?un收敛；如果??1，??1，那么级数?unn?1n?1??发散。
(3)如果??1，??1，??1，那么级数?un收敛；如果??1，??1，??1，
n?1?那么级数?un发散。
n?1??推论：设?un是严格的正项级数，并设有
n?1un??1?????o??， 2un?1n?n?则有
(1)如果??1，那么级数?un收敛；如果??1，那么级数?un发散。
n?1n?1??(2)如果??1，??1，那么级数?un收敛；如果??1，??1，那么级数?unn?1n?1??发散。
例题1 设x?2?0，试判别级数
11212n??????????? 2?x2?x3?x2?x3?xn?1?x的散敛性。
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广东石油化工学院本科毕业论文：级数敛散性总结
解：令un?12n，则 ??2?x3?xn?1?xnun?un?1????????n?1,2,3?,u0?1?
n?1?x由此可得
?1?x?un?n??un?1?un??1?x?Sn??1?x??u1?u2?u3???un? ?????????????????u0?Sn??n?1?unxSn?1??n?1?un
但由于
?n?1?un?所以当x?0时，un?11 ????xxx1?1?1?23n?1111，级数发散；当?2?x?0是，显然有un?，故级n?1n?1数发散；当x?0时，有
?n?1?un?故?n?1?un?0?n???，所以
1xxx1?????23n?1
limSn?n??1 x11??ln?sin例题2 设un?lnn?n?????，试讨论级数?un的散敛性。 ?n?1解：因为
un?ln1?11?1???ln???O???n??n5????n?3!n3?1??????ln11?1?1??O??3!n2??n4???11?1????????ln?1??O??n4??3!n2?11?1?????????O??3!n2??n4????????
??11故当??是，级数?un收敛；当??时，级数?un发散。
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第四章 级数敛散性比较及应用
第四章 级数敛散性比较及应用
4.1 基于级数类型的方法总结
对于级数的敛散性判断，当一个级数是具体属于某一种级数，则可以考虑利用该种级数对应的收敛判别法来进行判别其散敛性。而常见的几种级数和对应的判别法如下表：
表1 判别总结表
级数类型 正项级数
散敛性判别法
比较判别法、根值判别法、比值判别法、 对数判别法、拉贝判别法、高斯判别法
任意项级数
柯西判别法、绝对收敛判别法、 Abel判别法 交错收敛判别法、Dirichlet判别法
函数项级数
M判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法、 狄尼判别法、一致收敛判别法
幂级数 傅立叶级数
Abel定理、比值法、根值法
狄尼判别法、Lipschitz判别法、弗耶定理 狄里希来-约当判别法、威尔斯托拉斯逼近定理
4.1.1 对常数项级数
若给出的级数是常数项级数，一般可以利用以下的流程来进行判断：
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已给级数?un?1?n u??limun?0否？ 否 发散 是 是正项级数否？ 否 是 是否交错级数 否 是任意项级数 是 比值判别法可行？ 莱布尼茨判别法 任意项级数判别法 否 比较判别法的极限形式可行？ 是 否 比值判别法 是 否 其他方法 收敛或发散
图1 判别流程图
对于求级数的散敛性，首先要研究出其通项。但是当级数可化为含参数的一般式、通项为等差或等比式或通项为含二项以上根式的四则运算且通项极限无法求出时，可以选用正项级数的充要条件进行判断。下面通过具体的例子说明：
例题1 试判别级数?分析：容易知道un?u??1的散敛性 2n?11?n?1 21?nu????，所以有limun?0 (1)首先判断limun是否为0，因为1?n2???n??(2)然后判断是否为正项级数，由于1?n2?1，故原级数为为正项级数 (3)因为
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