??3x?2,x?0?2f(x)??x?1,0?x?1?2?,x?1?x8．设，分别求出下列极限。
（1）x??1limf(x) （2）x?0=x??1x?0limf(x) （3）x?1=?1； ，x?0limf(x) （4）x???limf(x) （5）x???limf(x)
解（1）x??1（2）x?0（3）x?1limf(x)lim(3x?2)2lim?f(x)?lim?(x?1)?1lim?f(x)?lim?(3x?2)?2x??0，所以x?0limf(x)不存在 ；
lim?f(x)=x?1lim?(x?1)lim22=2 ，x?1lim?f(x)=x?1x=2 ，所以x?1=x???lim(3x?2)lim?2limf(x)=2；
（4）x???limf(x)=x???x=0； （5）x???limf(x)=??。
?ex?1,x?0;??sin2xf(x)??,x?0;?xx?0?R,?9．设，问R为何值，f(x)在x?0连续。
x?0x?0解 x?010．求下列函数的连续区间，并求极限。
lim?f(x)?lim?(e?1)?2,lim?f(x)?lim?x?0xsin2xx?2， 所以，R?2
f(x)?13（1）
limf(x)limf(x)2x?3x?2，并求x?0。 （2）f(x)?ln(2?x)，并求x??8。
limf(x)1x?（3）f(x)?lnarcsinx，并求2。
2解（1）由题意得x?3x?2?0，解之得x?1,x?2，故连续(??,1)?(1,2)?(2,??)；
limf(x)x?0lim121=
x?03x?3x?2=32；
limf(x)limf(x)1（2）由题意得2?x?0，故连续区间为(??,2)，x??8x?（3）由题意得arcsinx?0，故连续区间为(0,1]，2=x??8=elimln(2?x)12=
lnarcsinln=ln10； ?6。
11．讨论下列函数的连续性，如有间断点，指出其类型。
y?x?1x?3x?2 （2）
22（1）
y?xsin5x （3）
2xy??1x(x?1)
1y?11y?3x?21（4）
1?2x （5）3x?2
??1x?e,x?0?y??1,x?0?x,x?0??（6）
limf(x)2x?1解（1）由题意得x?3x?2?0，解之得x?1,x?2，故连续(??,1)?(1,2)?(2,??)；=?2，limf(x)x?1，第一类可去间断点；x?2=?，x?2，第二类间断点；
11
（2）连续区间为
x?15k?；x?0limf(x)1=5，x=0，第一类可去。
limf(x)x?15k?(k?0)，第二类 ；
=?2，x=0, 第
（3）连续区间为(??,0)?(0,1)?(1,??)；x?1一类可去；
不存在，x=1，第二类;
limf(x)x?0（4）连续区间为(??,0)?(0,??);x=0，第一类跳跃 ; （5）连续区间为(??,0)?(0,??);x=0，第一类跳跃 ; （6）连续区间为(??,0)?(0,??);
?0lim?f(x)?lim?x?0limf(x)?1x?0?x?0,x?0, x=0，第一类可去。
12．一个矩形的边长为2x与2y，它内接于半径为10的圆周。x与y能否各自独立变化？y是否为x的函数？试把矩形的面积A表示为x的函数，并指出其定义域。
x?0lim?f(x)?lim?ex?0?1x解 由题意，得4x?4y?400，即x?y?100，则y?所以x与y不能独立变化，y为x的函数，且y?x2222100?x22
2100?x。 A?4x100?x,(0?x?10)
13．设有一奇函数，当x?0时的表达式2?1，试求此函数并画出其图形，这个函数是否为单调函数？是单调增还是单调减？为什么？这个函数有反函数吗？若有，试求其表达式。 解 因为f(?x)??f(x)，当x?0时，?x?0,则f(?x)?2?x?1，即
?f(x)?2?xx??2?1,x?0f(x)???x?x??1，则f(x)?1?2 所以??2?1,x?0，该函数为单调增。
?log2(1?x),x?0y????log2(1?x),x?0 其反函数为
14．假设征收个人所得税的办法如下：收入在800元以下（含800元）的不征税；收入在800元到2000元之间的，超过800元的部分税率为5%；收入在2000元到3200元之间，超过2000元部分按税率8%征税；而800元到2000元的部分仍按5%征税；收入在3200元以上的部分按10%征税。试求出个人收入额x（元）与需交的个人所得税y（元）之间的函数关系。
解 当0?x?800时，y?0； 当800?x?时，y?0.05(x?800)；
当2000?x?3200时，y?0.05(2000?800)?0.08(x?2000)；
当x?3200时，y?0.05(2000?800)?0.08(3200?2000)?0.1(x?3200) ?0,0?x?800??0.05(x?800),800?x?2000y???60?0.08(x?2000),2000?x?3200?156?0.1(x?3200),x?3200?即
15．验证方程x2?1至少有一个小于1的正根。
证明： 设f(x)?x2?1，则f(0)??1?0，f(1)?1?0，由根的存在定理知在(0,1)
中至少有一点?，使得f(?)?0。
16．验证方程x?asinx?b，其中a>0，b>0，至少有一个正根，且不超过a+b。 证明：设f(x)?x?asinx?b，因为a?0,b?0,所以f(0)??b?0,f(a?b)?0
故由根的存在定理知在(0,a?b)上至少存在一个正根。
17．设f(x), g(x)，是在区间[a,b]上的两个连续函数，而且f(a)?g(a), f(b)?g(b)试证：至少存
12
xx在一点x0, a?x0?b，使f(x0)?g(x0)。
证明： 设F(x)?f(x)?g(x)，因为f(x),g(x)在[a,b]上连续，且f(a)?g(a),f(b)?g(b)，所以F(a)?f(a)?g(a)?0,F(b)?f(b)?g(b)?0，故由根的存在定理知至少存在一点
x0,a?x0?b,使f(x0)?g(x0)。
习题三
1．填空
（1）设f(x)?(x?x0)??(x),?(x)在点x0连续f (x0)= .答案：?(x0) （2）设f(x)?x?|x|,则f'(0)? .答案：0
limx[f(a?2x)（3）设f(x)在点a可导,则x???y?3x?f(a)]=___________.答案：2f?(a)
（4）曲线
1?x在点(2,2)处的切线方程为 ，法线方程为 .
答案：x?3y?4?0 3x?y?8?0
n（5）设f(x)?x(x?1)(x?2)?(x?n),则f'(0)?_____ .答案：(?1).n!
2（6）曲线x?6y?y在点(?2,2)处切线的斜率k= 答案：3
23?zx?z（7）设z?(2x?y),则?x= ?y?z?. ．
x?1答案：?x?[(2x?y).ln(2x?y)?2x](2x?y)?z ， ?x?z?x(2x?y)x?1
?z?bze?xy
?z?xzz（8）设z?z(x,y)由方程e?xyz?0所确定,则?x= .答案：?x?zx?z（9）设z?xf(xy,e),则?x= . ?yz?arctgx?y?
?z.答案：?xdz??x?f?yf1??ef2?, 2?xf1?
yx?y?u222（10）设
x?y,则dz= .答案：
dx?xx?y22dy
2?2u2（11）设u?exyz,则?x??2u ?y2? 答案：?x2?yzee22xyz?u, xyz?xze22xyz
2．选择题
13
（1）下列各极限均存在,则( )式成立. 答案：b
limf(x0)?f(x0??x)?x?f'(x0)
a．
?x?0 b
?x?0limf(x0)?f(x0??x)?x?f'(x0)
c
?x?0limf(x0??x)?f(x0)?x?f'(x0)
d
?x?0limf(x0?2?x)?f(x0)?x?f'(x0)
（2）设
f(x)??xexx2x?0x?0,则f(x)在x?0处( ) 答案：a,d
a 连续 b 可导 c 可微 d 连续,不可导 （3）设f(x)?sinx,则f'[f(x)]?( ) 答案 b a sinsinx b cossinx c sincosx
d coscosx
（4）设f(x)?x?1,则函数f(x)在x?1处( ) 答案：a,b a 连续 b 不可导 c 可导 d 不连续
?1x（5）设f(x)?e1,则
?x?0limf'(2??x)?f'(2)?x?( ) 答案：c 3
a 16e
b 16e c 16e?1d 16e
?3x（6）设f(t)可导,且y?f(e),则dy?( ) 答案：b,d
a dy?f'(e)dxx
xxxxxxb dy?f'(e)de c -dy?[f(e)]'?de d dy?f'(e)edx
（7）设f（x，y）在点（a，b）处偏导数存在，则有x?0limf(a?x,b)?f(a?x,b)x=（ ）答案：d
a．0 b .fx?(2a,b) c. fx?(a,b) d. 2fx?(a,b) （8）函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处有偏导数是它在该点存在全微分的（ ）答案：a
a.必要条件 b.充分条件 c.充分不必要条件 d.既非充分条件又非必要条件
（9）设f(x,y)在区域D内具有二阶偏导数，则下述结论正确的是( ) 答案：d
?fa.?x?y2??f?y?x b.f(x,y)在D内连续 c. f(x,y)在D内可微 d.a,b,c,结论都不对
2?z?zyzx?y?F(,)?0?y（ ）答案：b xx（10）设z=z(x,y)是由方程所确定.则?xa.?z b. z c.-x d.x
14
（11）函数f(x,y)?xy(x2?y2?1)的极值点是（ ）
1111,,?2） a.（1，0） b.（0，1） c.（22） d.（2
答案：a,b
3．设f(x)在x0可导,求
limf(x0?2h)?f(x0)h（1）h?0lim
f(x0??h)?f(x0??h)h（2）h?0
f(x0?2h)?f(x0)?2h?解：（1）原式?(?2)limh?0(?2)f(x0)。
'(???)limf(x0??h)?f(x0??h)(???)h（2）原式?4．求曲线y?y'x?4h?0=?????f(x0)'
x在点(4,2)处的切线方程和法线方程.
?12x?11解：
4，所以在点(4,2)处切线斜率为4，法线斜率为4。
14所求切线方程和法线方程分别为
y?13x3y?x?1 y??4?18
5.求出曲线
上与直线x?4y?5平行的切线方程.
1y?13x3解：直线x?4y?5的斜率为4，曲线
y??x,由y?=2上过(x,y)点的切线斜率
14得x???12,y???,24所以直线方程为3x?12y?1?0
16．证明函数
1??x?sin,x?0f(x)??x?0,x?0?在x?0处连续,但在x?0处不可导.
x?sin1x?0?limf??limx?0f(x)=0=f(0)，x?0解：所以f(x)在x?0处连续,而0?xlimsinx?01x不存在，
15