16 c.
答案：a,d
(0,1) d. 216
(1,1)（8）下列说法正确的是 （ ）。
a. 设f(x)在点x0的某邻域内可导，如果f(x)在x0点取得极值，则f'(x0)?0。 b. 设f(x)在x0点二阶可导，且f'(x0)?0，f''(x0)?0，则驻点x0一定是极值点。 c. 设f(x)在x0点二阶可导，f'(x0)?0，f''(x0)?0，则驻点x0一定不是极值点。 d. 设f(x)在x0点不可导，则x0一定不是极值点。 答案：a,b 3．证明下列各题
（1）若f'(x)在[a,b]上连续，则存在两个常数m、M，对满足a?x1?x2?b的任意两点x1、x2，证明恒有
m(x2?x1)?f(x2)?f(x1)?M(x2?x1)
?arcsinx?arccosx?(?1?x?12（2）证明）
证明（1）因为f?(x)在[a,b]上连续对满足a?x1?x2?b的任意两点x1,x2，f(x)在[x1,x2]上连续，在(x1,x2)上可导，故由拉格朗日定理知存在??(x1,x2)，使得
f?(?)?f(x2)?f(x1)x2?x1又因为
f'(x)在[a,b]上连续，所以由最大、最小值定理知存在两个常数m、M，使得m?f?(?)?M，故有
m?f(x2)?f(x1)x2?x1?M，
即m(x2?x1)?f(x2)?f(x1)?M(x2?x1)
（2）证明令f(x)?arcsinx?arccosx,x?[?1,1]，
f?(x)?11?x2?11?x2?0因为
，x?(?1,1)，
f(0)??2所以f(x)?c,x?(?1,1)，又因为所以
arcsinx?arccosx?,f(?)??2，
?2(?1?x?1）。
2x2x2x2x4．下列运算是否正确，若认为不正确指出错处
lime?ee?exx?x?x（1）
x????limee?x?x(e(e2x2x?1)?1)x????lim(e(e?1)'?1)'x????lim2e2ex????1
limx?sinxx?sinx（2）
x???lim(x?sinx)'(x?sinx)'?limx???lim1?cosx1?cosx
x???lim(1?cosx)'(1?cosx)'sinx?sinxx??x????1
31
解（1）正确；（2）错误，
2sin2x2x2lim1?cosx=原式=
x??1?cosxlimx??2cos2lim=
x??tg2x2?0。
5．求下列极限
limx?ax?asinaxnmmn（1）
x?a(a?0,m,n为常数）
（3）x??tg5x
limxe1nax（2）x?0sinbxlim?lim(b?0)limsin3x
ln(sinax)ln(sinbx)
（4）
x?0
（5）
x???(a?0,n?0)1
（6）
limlnx?ln(1?x)x?1（7）x?0xlim(?)xe?1
（8）x????lim(2arctgx)x
m?1n?1解（1）原式=x?anxlimlimmxm=naam?n；
acosax（2）原式=x?0bcosbx=b；
2（3）原式=x??5sec5x=x??5lim3cos3xlim3cos3xcos5x??235 ；
cosaxx?0lim?sinaxcosbxsinbxablim?asinbxalim?bcosbxacosax=1 ；
（4）原式===x?0bsinax=bx?0（5）原式=
limx???nxaen?1ax=
limx???n(n?1)xae2axn?1???n!aenax?0；
?1ln(1?x)lim（6）原式=
limx?1x1lnxe?1?xx?1=lim1?xln211xlnx?2.limlimx?1xlnx1?x=x?1=
e?1e?1?xeln(2arctgx)1xlimx???2x?x2lnx?11x=0； 1?12；
limx（7）原式=
x?0x(e?1)=
xx?0xx=x?0e?e?xe212limexxxx=x?02?xlim12?1?x（8）原式=
limx???4exln(2?arctgx)limx??????1x2arctgxlim?x221=e=ex=ex???1?xarctgx=e?2?.
6．求下列函数的单调区间 （1）y?x?2x?5 （3）y?2x?lnx
22
（2）y?x?e
1?x)
2（4）y?ln(x?32
3解（1）令y??4x?4x?4x(x?1)(x?1)?0，解得x1??1,x2?0,x3?1
x -?，(0,1) (1,+?) （?1）0) (?1，+ - + ?_ y 递减
递增 递减 递增 增区间(?1,0)?(1,??)，减区间(??,?1)?(0,1) （2）令y??1?e x y? （-?，0） （0,+?) x?0，解得x?0,
+ 递增 - 递减 y
增区间(??,0)，减区间(0,??)
y??4x?1x?4x?1x122（3）令
?0，解得
1x1??12,x2?12
,（-?，?x 12 (）?，01) ?_ + 递增 (0,2) - 递减 （-?，?1(2,+?) + 递增 1）(0,)2； 2、
y 递减 ?12，0(1增区间（
）、2,??)?12，减区间
11?y??12(1?x)1?x22x（4）令7．证明不等式
tg?x?xx?2=1?x2?0，所以增区间为(??,??)
x3（1）3x?(0,?3
x?0)（2）1?x?ln(1?x)?x ,x?(0,证明（1）令f(x)?f?(x)?11?x22tgx?x?x2x3?3)3，则
f(x)?0,x?(0,?1?x?x?21?x2?0?，故f(x)单调增，而f(0)?0,从而
)3，
即
tg?x?x33x?(0,?)3
33
（2）令f(x)?ln(1?x)?xln1(?x)?x1?x，则
f?(x)?11?x1?1?x?x(1?x)?1?22?x(1?x)2?0,x?0，故有
1?x，令g(x)?ln(1?x)?x，则
x?ln(1?x)?xg?(x)??x1?x1?x?0,x?0故有ln(1?x)?x 从而有1?x8．求下列函数的极值 （1）y?2x?3x （3）y?x?1?x
32x?0
（2）y?xe2?x
?x（4）y?(x?1)e
2解（1）令y??6x?6x?6x(x?1)?0，解得x1?0,x2?1
( ??,0) 0 ?(0,1) 1 0 - 单0 极小值(1,??) + + 单增 单增 极大值f(0)?0 减 f(1)??1 故，极大值y(0)?0，极小值y(1)??1
（2）令y??2xe- ?x?xe2?x?xe?x(2?x)?0,解得x1?0,x2?2
( ??,0) 0 ?(0,2) 2 0 + 单增 0 极小e(2,??) - 值42单减 极小值f(0)?0 4单减 f(2)? 故，极大值
y??1?y(2)?2e，极小值y(0)?0
123（3）令
(1?x)34 ?12(?1)?1?3121?x?0，解得
x?34，x?(??,1]
(??, 4 )?+ 0 (4,1] - 单增 极大值单减 35f()?44 35y()?4 故，极大值4（4）令y??e?x?(x?1)e?x(?1)?0,得 x?0
x (??,0)0 y?
(0,??) + 0 - 34
y 单增 极大值单减 f(0)?1 故，极大值y(0)?1
9．下列函数在给定区间的最大值，最小值 （1）y?x?2x?5（2）y?x?2?x42x?[?2,2] x?[0,4]
（3）
y?sin2x?x5?4xx?[???,]22
（4）y?x?[?1,1]
3?y?4x?4x?4x(x?1)(x?1)?0，解得x1??1,x2?0,x3?1 解（1）令
又f(?2)?13,f(?1)?4,f(0)?5,f(1)?4,f(2)?13 故最大值y?13，最小值y?4
y??1?2?12x?12?1?1x?0（2）令
y?8，最小值y?0
，x?0为可能极值点，又f(0)?0,f(4)?8，故最大值
（3）令y??2cos2x?1?0，解得
f(?x1???6,x2??6；
?2又
)??2,f(??6)??32??6,f(?6)?32??6,f(?2)???2，
故最大值
y??2，最小值
y???12?2
y??12(5?4x)?(?4)??25?4x?0（4）令值y?1
，而f(?1)?3,f(1)?1，故最大值y?3，最小
10．下水道的截面是矩形与半圆所构成，当截面积为定值A时，试问矩形的底为多少时，该截面的周长S最短（图4-21）。．
x212xA?2?8xx2解 由题意得
s???2?2h?x，又有
?4A??()?xh2，知
h?，故2AS??x22A??x??4xx令
S???2?1?2Ax2??0x?22A，解得
??4故矩形的底为
x?2??4时，该截面的周长S最短。
11．一炮艇停泊在距海岸（设之为直线）9公里处，派人送信给设在海岸线上距该艇334公里的司令部，若送信人步行的速度为5公里/小时，划船速度为4公里/小时，问他在何处上岸到达司令部的时间最短？
解 设该人在距炮艇正对海岸线处x公里上岸用时最短，则所用时间t为
35