?z?z（4）设z?(2x?y)z?xyf(x,2x?y,求?x?y
,（5）设
,yx,求?x?y
y)?z?z解：(1) 根据链式法则得
?z?x?3xsinycosy(coy?siny)2
??2xsinycoy(siny?cosy)?x(sin333?z?yy?cos3y)
(2) 根据链式法则得 ?z?x?z?y?exycosln(x?y)[ycosln(x?y)?xysinln(x?y)x?y]?exycosln(x?y)[xcosln(x?y)?xysinln(x?y)x?y]
(3) 根据链式法则得
?z?x?2xf1?ye'xyf'?z2?y??2xf1?ye'xyf'2
(4) 两边取对数lnz?(2x?y)ln(2x?y)
?z?x?2(2x?y)2x?y[ln(2x?y)?1]?z?y?(2x?y)2x?y[ln(2x?y)?1]
(5) 根据链式法则得 ?z?x?yf(x,y)?xf'yx1?y2xf'?z2?x?xf(xyx,y)?x2xf'1?yf'2
cosx?cosx?cosy?z32．设z?sinx?F(siny?sinx),证明?x?z?cosx?F??(?cosx),?z?ycosy??z?y.
解：?x?F??cosy,
?z所以?xcosy??z?ycosx?cosx?cosy.
z?y23x?f(xy)x?,其中f可微,证明
2?z?x?xy?z?y?y2?0
33．设
26
?z??y22解：?x3x?f??y,?z?y?2y3x2?f??x,
x?所以
2?z?x?xy?z?y?y?0
?u34．设u?lnr,r?222x2?y2?z2,证明?x22222??u?y222??u?z22?1r
22x?z?y?u?u?y?z?x?2222222222(x?y?z),?y(x?y?z), 解：?x2222222?u?u?u1?u?x?y?z???222222222(x?y?z),所以?x?y?zr ?z222?u35.设u?x??(x?y)?y??(x?y),其中?,?二阶偏导数连续,证明?x2?2?u?x?y??u?y2?0
?u解：?x22?u2?2???x????y???,?y2?x????2???y???,
?u2?u22?x?y????x????y??????,所以?x?2?u?x?y2??u?y22?0
36.下列方程所确定的隐函数的导数或偏导数
x?ln(xy)dy（1）设y,求dx.
dy（2）设e?acos(x?y),求dx
dyx2（3）设siny?e?xy?0,求dx
y2lnx2?y2?arctgydy（4）设
x,求dx
?z?z（5）设
x?2y?z?2xyz?0xz,求?x?y
,（6）设z?ln?z?z,y,求?x?y.
,x?y?zx?y?z?e?x?y. （7）设,求
27
?z?zy?y?x解：(1)两边同时对x求导
y2?y?xy?xyy??xy?yxy?x22 得
asin(x?y)e?asin(x?y) ?y?e2xy222 (2) 两边同时对x求导ey???asin(x?y)(1?y?)yy???dy (3) 两边同时对x求导cosyy??e?y?2xyy??0得 dxx2cosx?2xy
y?x?yxx?y(4)两边同时对x求导
?z22?x1?2yx22dy 得 dxxyz?x?yx?y
xz?2xyzxyz?xy2 (5) 两边同时对xy求偏导
?x?yz?xyz?xy ?z?y?
?z (6) 两边同时对xy求偏导 ?x?zx?z ?z?y?zy(x?z)
?z (7) 两边同时对xy求偏导 ?x??1 ?z?y??1
?z37．设x?y?z?xyz?6,确定隐函数z?z(x,y),求?x解：对x?y?z?xyz?6两边同时对x求导, 得
333333(1,2,?1),?z?y(1,2,?1).
3x?3zzx?yz?xyzx?0,zx??3y?xz222?3x?yz3z?xy,
22zy?同理
1?z11|?? |??(1.2,?1)(1.2,?1)23z?xy,所以?x5?y5
?z?z38．设2sin(x?2y?3z)?x?2y?3z,证明?x??z?y?1
解：对2sin(x?2y?3z)?x?2y?3z两边同时对x求导,
zx???1?11?11?,z?2???y??3?2cos(x?2y?3z)?3?2cos(x?2y?3z)?
得
?z代入得?x??z?y?1
28
39．设x?z?y?f(x?z),其中f可微,证明
?z?yf??2x22z??z?x?y??z?y?x.
?z解：?x1?f??2yz,?y?f1?2yzf?,所以
z??z?x?y??z?y?x
3)的方向的方向导数.
22*40．求函数z?x?y在点(1,2)处沿从点(1,2)到点(2,2?解：1?23
*41．求函数u?xyz在点(5,1,2)处沿从点(5,1,2)到点(9,4,14)的方向的方向导数.
?9813 解：
222*42．设f(x,y,z)?x?2y?3z?xy?3x?2y?6z,求gradf(0,0,0)及gradf(1,1,1).
解： grad f(0,0,0)??3,?2,?6? grad f(1,1,1)??6,3,0?
习题四
1．填空
（1）设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f'(x)?0,f(b)?0，则在(a,b)内f(x)? 。 答案：f(x)?0
（2）设实系数的四次方程a0x?a1x?a2x?a1x?a4?0有四个不同的的实根，则方程
4a0x?3a1x?2a2x?a3?0的实根个数为 个。
32432答案：3
（3）设函数f(x)?x(x?0)，则其单调增加的区间是 ，单调减少的区间是 。 答案：(e,??)，(0,e)
（4）设f''(x)在x?0点连续，且f(0)?0,f'(0)?1,f''(0)?2，则x?0答案：1
（5）设f(x)?x?ax?bx在x??1点取得极小值–2，则a? ，b? 。 答案：4，5
（6）曲线上的拐点是 。 答案：(0,0)(1,?1)
f(x)?3x?x?1x?123232?1x?1limf(x)?xx2? 。
（7）曲线的斜渐近线为 。
答案：y?3x?1
29
f(x)?asinx?1sin3xx??（8）当a? 时，函数3在
3处具有极值。
答案：2 2．选择题
（1）下列函数在给定区间上满足罗尔定理的有（ ）。
y?1,[0,2]a. y?x2?5x?6,[2,3] b.
3(x?1)2
c. y?xe?x,[0,1]
d. y?x?1,[0,2]
答案：a
（2）设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且a?x1?x2?b，则至少存在一点?，使得必然成立。
a. f(b)?f(a)?f'(?)(b?a),??(a,b) b. f(x2)?f(x1)?f'(?)(x2?x1),??(a,b) c. f(b)?f(a)?f'(?)(b?a),??(x1, x2) d. f(x2)?f(x1)?f'(?)(x2?x1),??(x1, x2) 答案：a,b,d
（3）f'(x0)?0是函数f(x)在点x0处有极值的 （ ）条件。
a. 充分必要 b. 充分 c. 必要
d. a, b, c都不是
答案：c
（4）函数y?f(x)在 x0处取得极大值，则必有（ ）。
a. f'(x0)?0
b. f''(x0)?0
c. f'(x0)?0且f''(x0)?0 d. f'(x0)?0或f'(x0)不存在 答案：d
2（5）设y(x)?(x?3)3，点x?3处是f(x)的 （ ）。
a. 连续点 b. 可微点 c. 驻点
d. 极值点
答案：a,d
（6）曲线f(x)?x3?6x2?9x?2在区间(1,2)内是 （ ）。
a. 单调减少 b. 单调增加 c. 凹的
d. 凸的
答案：a,d
（7）曲线y?x3(1?x)的拐点是 （ ）。
(0,1)a. （0,0）
b.
2
30
） （