t?t???15x(334)?95?022?x?9?x422?15?x5?81?x42，
?令
481?x2，解得x?12，故他在距炮艇正对海岸线处12公里上岸用时最短。
12．设有一个T形通道，现在拟将一批长6米的管子由A处移到B处，移动时，要求管子与地面保持平行若A、B处通道的宽分别为2米和3米，试问这批管子能否按要求移位（图4-22）。
S?RQ?RP?PQ?2cos??3sin?,令
S???2(?sin?)cos?2解
?3cos?sin2?=0，解之得
tg??332，
??arctg当
332时，S?6，故可以。
图4-21 图4-22
13．求下列函数的凹凸区间和拐点。 （1）y?x?5x?3x?5 （3）y?ln(x?1)
232（2）y?1?x
?x2
（4）y?xe
x?53，
2解（1）y?=3x?10x?3，令y???6x?10?0，解得
x y?? y 5(??,)3 53 5(,??)3 - 下凹 0 拐点5250(,?)327 + 上凹 y??x1?x2y???13?0（2）
y??，
y??(1?x)22故在(??,??)上上凹，无拐点；
2xx?1，令
22(1?x)(x?1)222?0（3） x y?? y ，解之得x1??1,x2?1
1 0 拐点(1,??) (??,?1) ?1 (?1,1) - 下凹 0 拐点(?1,ln2) + 上凹 - 下凹 (1,ln2) ?x（4）y??e
?x(1?x)，令y???(x?2)e?0，解得x?2
36
x y?? y (??,2) 2 0 (2,??) - 下凹 + 2拐点（2，2)e上凹
y?x314．作出函数略。
x?1的图形。
2215．作出函数y?ln(x?1)的图形。 略。
16*．求曲线y?sinx的弧微分。 答案：ds?1?cosxdx
2217*．求下列曲线在指定点处的曲率。 （1）抛物线y?4x?x的顶点处。 （2）y?ln(x?1?x)在(0,0)处。 答案：（1）k?2 （2）0 18*．求曲线y?tgx在点4答案：
(??2(?, 1)2处的曲率圆方程。
?12516
??104)?(??294)19*．求曲线y?lnx上曲率半径最小点，求出该点处的曲率半径。
M(22,?12ln2),R?233答案：
20．求下列曲线在指定点处的切线与法平面方程。 （1）
x?2t, y?t, z?t1?t1?tt223t3在点(6, 9, 18)处。
2（2）
x?, y?, z?t在对应于t?1处。
（3）y?2x, z2212(, 1, )?1?x在点22处。
2???解（1）xt?2,yt?2t,zt?2t，又因
2t?6,t2?9,23t3?18y?93故t?3
?z?189x?6???所以xt(3)?2,yt(3)?6,zt(3)?18 所以切线方程为1?，
法平面方程为x?3y?9z?195；
xt??1(1?t)2,yt???1t2,zt??2t（2）
，所以
xt?(1)?14,yt?(1)??1,zt?(1)?2
37
又
x(1)?12,y(1)?2,z(1)?1所以切线方程为
x?12?y?2?4?z?18 法平面方程为
2x?8y?16z?1?0
（3）对y?2x两边取微分得2ydy?2dx，即
2y??x1y，同理可得
z???x12z故
y?x(,1,)22121?1,z?x(,1,222)??2222x?,x?x(,1,)221212z??y?1??2222?1,所以切线方程为，
法平面方程为
zx?y?z?1。
21．求下列曲面在指定点处的切平面与法线方程。 （1）e?z?xy?3在点(2, 1, 0)处。 （2）z?x?y在点(1, 2, 5)处。
z???解（1）令F(x,y,z)?e?z?xy?3，Fx?y,Fy?x,Fz?e?1，又
22zFx?(2,1,0)?1,Fy?(2,1,0)?2,Fz?(2,1,0)?0所以在点（2，1，0）处的切平面方程为x?2y?4?0， 法
y?1?x?2??2?1?线方程为?z?0；
22F??2x,Fy??2y,Fz???1（2）令F(x,y,z)?x?y?z，x，又
Fx?(1,2,5)?2,Fy?(1,2,5)?4,Fz?(1,2,5)??1所以在点（1，2，5）处的切平面方程为2x?4y?z?5，
x?1法线方程为
2?2y?242?z?5?1。
222．在曲线x?2y?3z?21上平行于平面x?4y?6z=0的切平面与法线。
222F??2x,Fy??4y,Fz??6z解 令F(x,y,z)?x?2y?3z?21，x，
2x由题意得122?4y4?6z2x6，令1?4y42?6z6=t，则有
x?t2,y?t,z?t，且
t22x?2y?3z?21即4?2t?3t2?21解之得t??2，从而平面上切点处坐标为（?1,?2,?2），
x?1?y?24?z?26所以所求的切平面方程为x?4y?6z?21?0 ， 法线方程为
。
23．在曲面z?xy上求一点，使该点的切平面平行于平面x?3y?z?9?0。
yF??y,Fy??x,Fz???1解 令F(x,y,z)?xy?z，又x，故有1?x3??11，解之得
y??1,x??3,z?3，从而所求点的坐标为(?3,?1,3)。
24．试证曲面
x?y?z?a(a?0)上任何点处的切平面在各坐标轴上截距之和等于a。
38
证明 令F(x,y,z)?x?y?z?a，又
Fx??12x,Fy??12y,Fz??12z，故该曲面在其
上(x0,y0,z0)处的切平面方程为
12x0(x?x0)?12y0(y?y0)?12z0(z?z0)?0
z0)z0)z0)令y?0,z?0得x?令x?0,z?0得y?令x?0,y?0得z?且
x0?y0?x0(x0?y0(x0?z0(x0?ay0?y0?y0?，
z0?y0?从而在该点处的切平面在各坐标轴上截距之和为z02）?a，从而结论成立。
x?y?z?(x0?25．求下列函数的极值点，极值。 （1）z?e2x(x?2y?y)
222（2）z?4(x?y)?x?y （3）z?x?y?3(x?y) （4）z?2xy?3x?2y
2x22x??2e(x?2y?y)?e?0?z?x1?2x(,?1)z?y?2e(2?2y)?0??解（1）解方程组得驻点2，再求出二阶导数：
223322??A=fxx?e2x???e(4x?8y?4y?4)，B?fxy22x(4?4y)，e???2eC?fyy2x，在点2(1,?1)处，
22B?AC??4e?0且A?2e?0，故有极小值
z(1,?1)??22 ；
?4?2x?0?z?x????0z???4?2y?0B?fxy??（2）解方程组?y得驻点(2,?2)，再求出二阶导数：A=fxx??2，，
????2C?fyy2，在点(2,?2)处，B?AC??4?0且A??2?0，故有极大值
z(2,?2)?8；
2??3x?6x?0?z?x??y?3y2?6y?0z?（3）解方程组?得驻点(0,0),(0,2),(2,0),(2,2)，再求出二阶导数：
2???0C?fyy????2B?fxy??A=fxx??2，，，在点(0,0)处，B?AC??36?0
A??6?0，故有极大值
z(0,0)?0；在点(0,2)处，B?AC?36?0，该点非极值点；在点(2,0)处，
222B?AC?36?0，该点非极值点；在点(2,2)处，B?AC??36?0且A?6?0，故有极小值
z(2,2)??8；
39
?2y?6x?0?z?x????2z??2x?4y?0B?fxy????6（4）解方程组?y得驻点(0,0)，再求出二阶导数：A=fxx，，
????4C?fyy2，在点(0,0)处，B?AC??20?0且A??6?0，故有极大值
22222z(0,0)?0。
26．求函数z?(x?y?2x)在圆域x?y?2x上的最大值，最小值。 解 显然，函数在圆周x?y?2x上的函数值为0，令
22??2(x?y?2x)(2x?2)?0?z?x?22?y?2(x2?y2?2x)2y?0z??得驻点（1，0）或x?y?2x，f(1,0)?1?0，所以最大值
22z(1,0)?1，最小值
z(x2?y2?2x)?0
27．求函数z?xy(4?x?y)在x?1, y?0, x?y?6所围闭域上的最大值，最小值。
2??4y?2xy?y?0?z?x?2z?y?4x?x?2xy?0??解 令得驻点（4，0），
(444464329,)f(4,0)?0,f(,)?z?y(3?y)??(y?)?33又因为3327，在边界x?1上24， x?329当时，有最大值
24，在
y?0上，
z?0，在
x?y?6上，
z?x(6?x)(?2)?2(x?3)?18??18，当x?3时，有最小值?18，故最大值
z(4,4)?336427 ，最小
值
z(3,3)??18。
28．把一个正数a表示为三个正数之和，并使它们的乘积为最大，求这三个正数和其乘积的最大值。 解 设这三个正数分别为x,y,z，则有V?xyz，且x?y?z?a,x,y,z?0
2??Vx??ay?2xy?y?0aaaa?2,z??V??ax?x?2xy?03故当三个正数均等于3故V?xy(a?x?y)令?y得驻点（33），此时
a3()时，乘积最大为3。
29．有一宽为24cm的长方形铁板，把它两边折起来做成一个断面为等腰梯形的水槽。问怎样折法才能使断面的面积最大。
解 设折起的腰为xcm，与底边的夹角为?，则有
S?12xsin?[24?2(x?xcos?)?24?2x]?xsin?(24?2x?xcos?)
??sin?(24?2x?xcos?)?xsin?(?2?cos?)?0?Sx??S??xcos?(24?2x?xcos?)?xsin?xsin??0令??得驻点（8，3）故当折起的腰为8cm与底
边的夹角为60°时，端面的面积最大。
30．将长为l的线段分为三段，分别围成圆，正方形和正三角形，问怎样分法才能使它们的面积之和为最小。
解 设分成长为x,y,z,则有
40