?解：（1）v(t)?h(t)?v0?gt
（2）a?h??(t)??g
v0（3）v(t)?v0?gt?0,t?g
14.一个深为8米,上顶的直径为8m的圆锥容器,以每分钟4m3的速度将水注入,问当水深为5m时,其表面上升的速度是多少?
r?41解：设t分钟后水深为h，则hv?h?(t)?1625?8，根据题意，3?rh?4t24，把r?8h代入得
h?312t82?42，
215.某人身高2米,以3米/秒的速度向一高7米的街灯走去,问此人身影长度的变化率是多少? 解：设开始此人与灯街距离为s身影长度为h，?t时间后身影长度为h?，
22则7?hh?s，
7?h?h??s?53?t?h??h?t??23
,身影长度的变化率
s?9sin?t3?2t16.已知质点作直线运动,方程为为单位).
s?????sin2,试求在第一秒末的加速度.(S以米为单位,t以秒
?t3，所以第一秒末的加速度为
s??(1)??32解：加速度为
?2
17．求下列函数对自变量的偏导数
（1）z?arcsin(yx) （2） z?lnsin(x?2y)
z?x?sinyx
（3） z?ln(x?lny)（4）
xz（5） z?e?(cosy?xsiny)（6）u?arctg(x?y)
y?z?x?2x1?xyx1?xy22?2?xyx1?xy2 解：(1)
?z?y?
?1?xy2 21
?z(2) ?x?z?cos(x?2y)sin(x?2y)1x?lny?ctg(x?2y) ?z?y??2ctg(x?2y)
(3) ?x? ?z?y?1y(x?lny)
cos?xyx?z(4) ?x?z?(?yx2)?x?cosyx?12xsiny?zx?y
(5) ?x?u?e(siny?cosy?x?siny)x?z?y?e(?siny?xcosy)x
z?12x(6) ?x?z(x?y)z?12z1?(x?y) ?u?y??z(x?y)1?(x?y) ?u?z?(x?y)ln(x?y)1?(x?y)2zz
?z18.设
z?x?y?x?y22,求?x,(3,4)?z?yy(3,4).
?z?1?解：?xf?(3,4)?25?z?1?22x?y，?y fy?(3,4)?15
xx?y22，
所以
z?ln(x?y19．设
?z22x,求?x)?z,(1,0)?z?y(1,0). ?z(1,0)?2x?y3?z解：?x2x?xy，?y?122x?y，所以?x?1 ?z?y(1,0)?12
20.求下列函数的二阶偏导数
z?arctgyx
422422（1）z?x?4xy?y （2）z?ln(x?xy?y) （3）
?z32解：（1）?x?4x?8xy，?y??8xy?4y， ?z?x22 ?z23?12x?8y 22?z?x?y2??z?y?x2??16xy?z?y22?12y?8y22
?z?2x?y22?z（2）?xx?xy?y，?y?2y?xx?xy?y，
22 22
?z?x22?y?2x?2xy(x?xy?y)2xy(x?y)2xy(x?y)
2222222222 ?z?x?y?z?x?y22??z?y?x?z?y?x22??(x?4xy?y)?z(x?xy?y)y?x22222222222?y2?x?2y?2xy(x?xy?y)22222
?z2（3）?x?z?y222? ??(x?y)
??21．证明函数z?ln(1x?y)满足?xx?z?y?z?y?12
1?z?解：?x2xx??z?y，?y2x?yy，所以?xx?z?y?z?y?12
?z22．证明z?ln(x?y)满足拉普拉斯方程?x2222??z?y22?0.
22?z?2y?2x?2?2222222(x?y)， x?yx?y?y?x?x解：，，
?z2x?z2y2?z?y22?2x?2y22222?z22(x?y)所以?x??z?y22?0.
23．求下列函数的微分dy.
y?lnsinx2
x2（1） y?e?sinx（2）
2（3） y?tan(1?x)（4） y?[ln(1?x)]
22（5） y?lny?x（6）
x224arctanyx?lnx?y22
x2解：(1) y??e(sinx?sin2x)dy?e(siny??12cotx2dy?12cotx2dxx?sin2x)dx
(2)
2?(3)y?4x?tg(1?x)sec(1?x) dy?4x?tg(1?x)sec(1?x)dx
y??2ln(1?x)x?1dy?2ln(1?x)x?1dx22222(4)
23
(5)两边同时对x求导得
2yy??y?y?4xy??34xy2y?1
23dy?4xy2y?123dx
(6) 两边同时对x求导得24.下列函数的全微分
z?xy?yy??x?yx?y
dy?x?yx?ydx
（1）
x （2） z?arcsin(xy)
x?y?cosx?cosy（4） u?xy?z （3） z?e?z解：（1）?x=
?zyy(1?1x2)?z，?y=
x?1x，所以
dz?y(1?1x)dx?(x?21x)dy
?z22x22dz?y1?xy22dx?x1?xy22dy(2) ?x=1?xy，?y=1?xy?z
?zx?y(3) ?x=edz?ex?ysiny(cosx?sinx)，?y=ex?ycosx(cosy?siny)
[siny(cosx?sinx)dx?cosx(cosy?siny)dy] ??u?uyzxyz?1(4) ?xdu?yzx?y??uz?xyz?lny?zyz?yxyz?lnx
yz?1dx?z?xyz?lnydy?yx?lnxdz
25．利用微分求近似值
1（1） arctg1.02（2） （3） tg46（4） e1.01 解：利用近似公式
?99.9
f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)11?x2x?1得
（1） arctg1.02=
1arctan1??0.02= 0.795，
1（2）
99.9=100?(1x)?x?100(?0.1)?0.10005
???tan45?tan?45(x?x)0=1.0349 ， （3）tan46?（4） e1.01=
e?e(x?x0)=2.7455
24
T?2?Lg26.已知单摆的运动周期
?T?T?(l)??l?,若摆长由20cm增加到20.1cm,问此时周期大约变化多少?
?gl?l?0.0022解：
27．设有一凸透镜,镜面是半径为R的球面（如图3-9）,镜面的口径为2h,若h比R小的多,试证
h2明透镜的厚度
D?2R. 图3-9
R?h22D?R??R?h222解：
R?h,因为h比R小的多,所以R?h?R,
22D?h22R.
28．利用全微分求下列近似值．
??2.03（1）sin29tg46 （2）(10.1)
z?sinxtgy,dz??z?x(30,45??解：(1)设
??dx?)?z?y(30,45)??dy,
z?z(30,45)?dz? 0.50234
(2)设z?x,ydz??z?xdx?(10,2)?z?y(10,2)dy,
z?z(10,2)?dz? 108.908
29.有一圆柱体,它的底半径由2cm增加到2.05cm,其高H由10cm减少到9.8cm,试求体积变化的近似值.
解：?V?dV?2?rhdr??rhdh?1.2 ?cm
30.有一用水泥砌成的无盖长方体水池,它的外形长5米,宽4米,高3米,又它的四壁及底的厚度均为20cm,试求所需水泥的近似值.
2(5?3?3?4)?4?5??0.2?14.8m解：?V?dV??
32331．求下列复合函数的偏导数．
,22z?uv?uv,u?xcosy,v?xsiny?x?y （1）设,求,ucosvz?e,u?xy,v?ln(x?y)?x?y （2）设,求
,),求?x?y
?z?z?z?z?z?z（3）设z?f(x?y,e22xy 25