第9章课后习题详解 重积分
内容概要 名称 二重积分 定义 性质 ③n主要内容 ??Df(x,y)d??lim??0?i?1f(?i,?i)??i ①??kf(x,y)d?D?k??f(x,y)d?D②???f(x,y)?g(x,y)?d?D???Df(x,y)d????g(x,y)d?D??Df(x,y)d????D1f(x,y)d????D2f(x,y)d? D?D1?D2 ④??d?D?? ⑤f(x,y)?g(x,y)???Df(x,y)d????g(x,y)d?D⑥??Df(x,y)d????Df(x,y)d? ⑦m?计算法 ???Df(x,y)d??M? ⑧??Df(x,y)d??f(?,?)? (?,?)?D ?2(x)利用直角坐标计算 把D写成X型区域 ??Df(x,y)d???badx??1(x)f(x,y)dy 把D写成Y型区域 ??Df(x,y)d???dcdy??2(x)?1(x)f(x,y)dx 利用极坐标计算 三重积分 利用柱面坐标计算 利用球面坐标计算 应用 ??????Df(x,y)d?????d??r2(?)r1(?)f(rcos?,rsin?)rdr 利用直角坐标计算 投影法(针刺法、先一后二法) ????f(x,y,z)dv???Dd??z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz??截面法(切片法、先二后一法) ????f(x,y,z)dv??d dz??f(x,y,z)d???Dzcf(x,y,z)dv????f(rcos?,rsin?,z)rdrd?dz? ????f(x,y,z)dv????f(rsin?cos?,rsin?sin?,rcos?)rsin?drd?d??2 求立体的体积、求曲面的面积、求质量、重心、转动惯量等 课后习题全解
习题9-1
★1.设有一平面薄板（不计其厚度），占有xOy面上的闭区域D，薄板上分布着面密度为???(x,y)的电荷，且?(x,y)在D上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷Q.
解：将D任意分割成n个小区域???i?，在第i个小区域上任取一点(?i,?i)，由于?(x,y)在D上连
续和??i很小，所以用?(?i,?i)作为??i上各点函数值的近似值，则??i上的电荷
?Qi??(?i,?i)??i
从而该板上的全部电荷
nQ?lim??0??(?i?1i,?i)??i????(x,y)d?D
其中?是各??i中的最大直径。
★★2.利用二重积分定义证明：
（1）（2）（3）
??d?DD??（?为区域D的面积）；
?k??f(x,y)d?（其中k为常数）；
D??kf(x,y)d???Df(x,y)d????D1f(x,y)d????D2f(x,y)d?，
其中D?D1?D2, D1,D2为两个无公共内点的闭区域。
证明：（1）这里，被积函数f(x,y)?1，由二重积分的定义，对任意分割和取点法，
nnni??1?d?D?lim??0?i?1f(?i,?i)??i?lim??0?1???i?1?lim??0???i?1i?lim???，
??0∴
??d?D??，其中?是各??i中的最大直径。
nni （2）
??kf(x,y)d?D?lim??0?kf(?i?1,?i)??i?limk?f(?i,?i)??i
??0i?1n?klim??0?i?1f(?i,?i)??i?k??f(x,y)d?
D（3）将D1任意分割成n1个小区域??i?1?，?是其各小区域的最大直径，将D12任意分割成n2个小区域
????，?i22有类似的意义。记n?n1?n2，??max{?1,?2}，于是对应区域D就分成了n个区域，
当??0时，有?1?0且?2?0，因为D?D1?D2, D1,D2无公共内点，将以上分割反过来处理：先将D分割为n个区域，此分割在D1,D2上的部分为n1，n2个小区域。于是当f(x,y)在D1,D2上可积时，便可如下推出f(x,y)在D上可积（或反过来也一样），且有
n??Df(x,y)d??lim??0?i?1?n1f(?i,?i)??i?lim??f(?i1,?i1)??i1???0?i1?1n2n2?i2?1?f(?i2,?i2)??i2?
?n1?lim?1?0?i1?1f(?i1,?i1)??i1＋lim?2?0?i2?1f(?i2,?i2)??i2???D1f(x,y)d????D2f(x,y)d?
★★3.判断积分
12??ln(x?y)dxdy的符号
?x?y?12222解：由于
于是
1212?x?y?1，所以ln(x?y)?0，且当x?y?1时，ln(x?y)?0，
2222222222??ln(x?y)dxdy?0
?x?y?122★★4.判断下列积分值的大小：I1???Dln(x?y)dxdy，I2?3??D(x?y)dxdy，
3I3????sin(Dx?y)?dxdy，其中D由x?0，y?0，x?y?312，x?y?1围成，则I1,I2,I3之间的大小顺序为（ ）
A. I1?I2?I3 B. I3?I2?I1 C. I1?I3?I2 D. I3?I1?I2
解：因为被比较积分的积分区域相同，故可从被积函数来判断，在区域D上，1/2?x?y?1，当1/2?t?1时，lnt?sint?t，从而当(x,y)?D时，
ln(x?y)?sin(x?y)?(x?y)，其中的\?\只有在边界处才可能取到
所以
333??lnD3(x?y)dxdy???sinD3(x?y)dxdy???(x?Dy)dxdy，故应选C.
3★★★5.估计下列二重积分的值：
（1）（2）
??xy(x?Dy)d?,其中D是矩形闭区域0?x?1，0?y?1；
2??D(x?4y?9)d?,其中D是圆形闭区域x?y?4；
222?0?x?1，0?y?1，?0?xy(x?y)?2，?0?解：（1）
??xy(x?Dy)d????2d?D?2
（2）圆形闭区域D的面积为????2?4?，在D中，
2x?y?9?x?4y?9?4(x?y)?9
即9?x?4y?9?25，?9?即36??22222222??9d?D???(xD2?4y?9)d??2??25d?D?25?，
??(xD22?4y?9)d??100?
2★★★6.试用二重积分性质证明不等式
1???D(sinx?cosy)d??22，其中D：0?x?1，0?y?1.
证明：?
??cosDyd??2?10dx?cosydy??cosydy??cosxdx??dy?cosxdx???cosxd?
00000D1212121122???D(sinx?cosy)d??22??D(sinx?cosx)d??22??D2sin(x?2?4)d?
?当0?x?1时，
222?sin(x?2?4)?1，由重积分的性质即得
1???(sinDx?cosy)d??22，证毕。
★★★★7.计算lim1r?0?r2??Dex?y22cos(x?y)dxdy，其中D由中心在原点，半径为r的圆所围成。
解：? ex使得
2?y2cos(x?y)在D上连续，?由二重积分的中值定理知，在D内至少存在一点(?,?)，
???22??Dex?y22cos(x?y)dxdy?ecos(???)??r，于是有
222lim
1r?0?r2??Dex?y22cos(x?y)dxdy＝limer?0???cos(???)＝lime??0??0?2??2cos(???)＝1
习题9-2
★1.计算下列二重积分：
(1) (2) (3)
??Dsin2xsin2yd?，其中D：0?x??，0?y??;
，其中闭区域D由坐标轴与x?y?2所围成;
3??(3x?2y)d?D32??(xD?3xy?y)d?，其中D：0?x?1，0?y?1;
22(4)
??D(x?y)d?，其中D：0?y?sinx，0?x??.
2解：(1) ??sinD2xsin2yd?=?sin0?2ydy??0sin2?xdx=???sin?02xdx??
?2而
??0sin2xdx＝
12??01?1???(1?cos2x)dx＝?x?sin2x?＝，?所求＝
2?224?0?(2)积分区域D：0?x?2，0?y?2?x
?所求＝?dx?022?x0(3x?2y)dy＝?3xy?y02?22?x0?dx＝?3x(2?x)?(2?x)dx＝
022??203?2(2?x)?20322＝ 6x?3x?(2?x)dx＝?3x?x??33??02?(3)
??D4?3322y?323323(x?3xy?y)d?=?dx?(x?3xy?y)dy=??xy?xy??dx= 00024?0?1111?x4131??3321??x?x?=1 =x?x?dx????0?424?024??11(4)
??(xD2?y)d?=?dx?02?sinx0(x?y)dy=?22?03?2y??xy??3?0?sinxdx=??03?2sinx???xsinx?3??dx ??=???0xdcosx??2??1?cos3?2x0dcosx=?xcosx??2?+??0?0?cosxcos3x?2xcosxdx+???
39??0??其中
?02xcosxdx=?2xdsinx=?2xsinx?0??02?02sinxdx=?2cosx?0=?4
?所求＝??409
★★2.画出积分区域，并计算下列二重积分：
(1)
??Dex?yd?，其中D:x?y?1
(2)
??Dsinxx2d?，其中D是由y?x，y?2x2，x?2所围成的区域
(3)
??xDe?yd?，其中D是以(0,0)，(1,1)，(0,1)为顶点的三角形闭区域
(4)
??Dxy?1d?，其中D是由y?x?1，y?2x，x?0所围成的区域
20x?11?x?1x?10解：(1)所求=??1edx?x?x?1edy?y?0edx?xedyy=
??1ee0x??yx?1?x?1dx????10eexy?x?1x?1dx
??e =
0?12x?1?e?1?dx???e?e10xx/22x?1?12x?1??12x?1x??1??e????ex?e?e??dx2e??1??0?2e
1(2)所求＝
?2sinxxy0dx?dy=?2sinxx01?1??dx=??cosx?=(1?cos2) 2?2?02x22(3)所求＝
?10dy?xe012?y2dx=?1y303?1e?ydy=?16?10yde2?y21?2?y2ye=?6??1?0?10e?y2dy2? ??21??1?ye?e=??6??1?2e? ?????=160