★★★7.????x?y?zdv，其中?是由x?y?z?z所围成的闭区域。
22222221?1?22解：利用球面坐标，题设球面方程可化为x?y??z???，它位于xOy面的上方，且与xOy24??面相切，故0?r?cos?，0????2，0???2?
?cos?所求＝
???r?rsin?drd?d?＝??22?0d??2sin?d??00rdr＝?314?2??0d??2cos?dcos?＝
04??
14?2?0?cos??21d?＝??520??0225?2?0d?＝
?10
2★★★8.计算???(x?y)dxdydz，其中?是由曲线y?2z，x?0绕z轴旋转一周而成的曲面
?与两平面z?2，z?8所围成的立体。
?y2?2z22解：曲线?绕z轴旋转一周所得的旋转曲面的方程为x?y?2z，由于积分域?在xOy面
?x?0上的投影域的两个不同的部分：
D1：0???2，D2：2???4其中任一点所作平行于z轴的直线与围成?的不同曲线相交，故
原积分应视为柱坐标下两个不同的三重积分之和，即
I=???d?d???dz+???d?d????dz＝?282822?2D1D220d???d??dz+?022382?0d??42?d????dz
23822??4?＝2?????6+2??4??0
22????2???8?2??d?＝336?
??432222★★★9.计算???zdxdydz，其中?是两个球x?y?z?R，
?2x?y?z?2Rz(R?0)所围成的闭区域。
2?3RR?r222222解：利用柱坐标，???zdxdydz＝??20d??20dr?R?R?r2zrdz
2＝
2?32?33??2R0?22?R?r???32?R??R?r22???rdr
3?320R＝
?22?2R?r???32?4R?3R32R?r222??3Rr?rdr
?＝
2??3153575275?595= ?RR?R?R?R??3?802864?480★★★10.计算????22222?x2yz?xyz?其中?是由椭球面2?2?2?1所围成的区域。 ?a2?b2?c2??dxdydz，
abc??解:令x?a?sin?cos?，y?b?sin?sin?，z?c?cos?，则J＝
?(x,y,z)?(?,?,?)＝
abc?sin?，故有所求＝abc
2?2?0d??d????sin?d?＝
00?12245?abc
22★★★11.求由曲面z?6?x?y及z?x?y22所围立体的体积。
解：利用柱坐标计算，积分区域?的上半曲面是抛物面，下方是开口向上的锥面，由
x?y22?z?6?x?y22?z?6?x2?y2消z得?r?z?6?r又两曲面的交线为?22?z?x?y2x?y22?6?x?y即x?y?4(z?2)，故?在
2222xOy面上的投影区域为圆域
Dxyx?y?4于是所求V＝：
222????dv?＝
2?0d??rdr02?6?r2rdz＝
2??r?6?r022?rdr?＝
?2r4r3?322??3r??? ＝?343?0?
★★★12.曲面x?y?az?4a将球x?y?z?4az分成两部分，求这两部分的体积比。 解：球面方程x?y??z?2a??4a，球体体积V?22222222223232?a，题设曲面与球面的交线在xOy面
3上的投影区域为x?y22?3a，球面的下部与曲面x?y?az?4a之间的体积为V1＝
2?322???dxdydzV1＝
???rdrd?dz＝?V10d??3a0rdr?4a?r2a4a?r222a?dz＝
?2?0d??3a02?r??4a?a?2a??3722?34a?r?rdr?a ＝?6?球面的上部与曲面之间的体积V2＝V-V1=所以V1：V2＝37:27
276?a
3
★★★13.计算密度函数为??x2?y2?z2的立体?的质量M，这里?是由球面
x?y?z?R与锥面z?222222x?y222所围成的区域（锥面的内部）
解：由题意知M＝????x?y?z?dv，用球面坐标表示积分区域，有
V?：0???R,0???2??4R,0???2?，于是
?0M＝
?0d??4sin?d???d?＝
04?2?0??5???5?44d??sin???d?＝2????cos??0???＝0?5?0?5?0?R?R2?R5
5(1?22)
★★★14.球心在圆点，半径为R的球体，在其上任意一点的密度的大小与该点到球心的距离成正比，求
该球体的质量。
解：密度函数?(x,y,z)?k质量元素dM＝k22x?y?z，k是比例系数，
2222x?y?zdv，所求的质量M????k?x?y?zdv，由于?是球体，
?r4???? ?4?0R222故宜采用球面坐标，M?k?2?0d??d??r?rsin?dr＝2?k???cos??02?R?00=k?R
222★★★15.利用三重积分求由曲面z?x?y，z?1所围成的立体的重心（设密度??1）。
422解：这是一个锥体，由对称性易知，x?y?0，利用柱坐标计算，投影区域Dxy:x?y?1及
x?y22?z?1，即r?z?1，于是
2?112?12?3?r2r???d?＝ ??233??011M＝???1?dv＝??0d??dr?rdz＝?0r2?110d??r(1?r)dr＝?00静矩Mxy＝
?????zdv＝?340d??rdr0?rzdz＝
1?22?0d???014?r2r??3?r?rdr＝??＝ ?4?04?2?∴z＝
MxyM＝
，故重心坐标为?0,0,??3?? 4?★★★16.球体x2?y2?z2?2Rz内，各点处的密度的大小等于该点到坐标原点的距离的平方，求该
球体的重心。
解：由于此球体关于xOz，yOz坐标面对称，所以x?y?0，下面求z。?为球体，用球坐标计算
三重积分，将球坐标代入球面方程，得0?r?2Rcos?，又易见0???2?，0?????2所以
M??2?0d??2d??02Rcos?0r?rsin?dr＝
22155??2??00d??2r6??52Rcos?0sin?d?
?＝?32R55?＝
2??0d??cos?dcos?＝?202?532R52?0?cos??2325d?＝?R ??15?6?02?静矩Mxy?????zdv＝?16?0d??d??202Rcos?0r?rcos??rsin?dr
2?＝2??20sin?cos???2Rcos??6d?=?64?R36?7??cos?dcos?＝ ?026Mxy5R5R?64?R??cos???28?R?z＝∴＝＝，故该球体的重心坐标为0,0,??? ??M44383????068
★★★17.一均匀物体（密度?为常量）占有的闭区域?由曲面z?x?y和平面z?0，x?a，
y?a所围成，
（1）求物体的重心；
（2）求物体关于z轴的转动惯量。
22解：（1）由?为常量和物体关于xOz，yOz坐标面对称知，x?y?0，
aax?y22M＝4??dx?dy?000dz＝4??dx?0aaa0?x2?ydy＝4??2?a03?2y???xy?3??dx＝ ??0a4??a03?2a3??ax3ax?84????ax?dx4???a＝?M0 ＝＝????3?3?03??3z＝
1M2?????zdv＝
4M0?a0dx?dy?0ax?y220zdz＝
2M0?a0dx?a0?x4?2xy?ydy
224?＝
M0?a0?4232a5?2?121?672??ax?ax?dx??aa所以物体的重心坐标为＝＝????35?M0?595?15?72??a? ?0,0,15??（2）Iz＝
a?????(x?y)dv＝4??dx?dy?0022aax?y220?x2?ydz＝
2?4??dx?0a0?x4?2xy?ydy＝4??224?2845a＝
611245?a
6
★★★18.设有半径为R的均匀球体（??1 ），球外一点P放置一单位质点，试求球体对该质点的引
力。
解:设球心为原点，建立直角坐标系，使P点在z轴上，坐标为(0,0,h)(h?R)，由对称性知
Fx?Fy?0，Fz＝???VK?(z?h)dv[x?y?(z?h)]223/2
=
???[rVK?(rcos??h)2?h?2hrcos?]R23/2?rsin?drd?d?
2=K??2?0d??rdr?02?2(rcos??h)[r?h?2hrcos?]23/20sin?d?
=?K??h?R0rdr2??022?1h?r?2?221/223/2[r?h?2hrcos?][r?h?2hrcos?]???sin?d? ?=?K??2h2?R022??2h?r221/2r?2[r?h?2hrcos?]?2dr 21/2?[r?h?2hrcos?]??02???=?K??2h2?R08rdr=?KMh2K?h2?43?R=?3KMh2
故所求引力F=?向相反。
?k，其中M为球的质量，K为引力常数，上式负号表示引力的方向与轴的正方
总习题九
★★1.计算下列二重积分：
（1）
??DDxy22dxdy，其中D是由xy?2，y?1?x及x?2所围成的区域。
22（2）
??6xydxdy，其中D是由y?x，y??x及y?2?x所围成的在x轴上方的区域。
22