解：（1）想像?的形状，可把?表示为0?x?1，0?y?2?x，0?z?xy
12?xxy所以，
????f(x,y,z)dxdydz＝?dx?00dy?0f(x,y,z)dz
（2）画出积分区域的草图，可知区域?介于平面z?x与z?2之间，且x?z?2，?在xOy面上的投影区域为D：0?x?2，1?y?2?z2(x,y)z1(x,y)x2，所以
x2????f(x,y,z)dxdydz＝??d?D?f(x,y,z)dz＝?dx?022?1dy?f(x,y,z)dz
x2（3）不难求得两曲面的交线在xOy面上的投影为x?y22?1，?在xOy面上的投影区域为D：
x?y?1，所以
11?x222????f(x,y,z)dxdydz＝?dx??1?1?x2dy?2?x22x?2y2f(x,y,z)dz
★★2.设有一物体，占有空间闭区域?：0?x?1，0?y?2，0?z?3，在点(x,y,z)处的密
度为?(x,y,z)?x?y?z，计算该物体的质量。
解：该物体的质量
M=????(x,y,z)dxdydz=???(x?y?z)dxdydz=?dx?dy?(x?y?z)dz＝
??1230002?z??0dx?0?xz?yz?2?dy??0123＝
?1010dx?209???3x?3y??dy2??＝
2?3y9??3xy??y??0??dx22??012＝
?0?6x?6?9?dx
1＝3x?15x?2?＝18
★★3.设积分区域?：a?x?b，c?y?d，m?z?l，证明：???f(x)g(y)h(z)dxdydz?＝
?baf(x)dx?g(y)dy?h(z)dz
cmbdldl证明：左边＝???f(x)g(y)h(z)dxdydz＝?dx?dy?f(x)g(y)h(z)dz＝
?acm?
badx?f(x)g(y)dy?h(z)dz＝?f(x)dx?g(y)dy?h(z)dz＝右边
cmacmdlbdl★★4.计算???xyzdv，其中?是由曲面z?xy，y?x，x?1，z?0所围成的区域。
?23解：根据题意，积分区域可表示为?：0?z?xy，0?y?x，0?x?1，所以
23????xyzdv＝?xdx?ydy?001x2xy0zdz＝
31?410xdx?ydy＝
05x6?28110xdx＝
121364
★★★5.计算????dxdydz(1?x?y?z)3，其中?是由x?0，y?0，z?0和x?y?z?1所围成的
四面体。
解：?在xOy面上的投影区域为Dxy：0?x?1，0?y?1?x，于是
所求＝
?10dx?1?x0dy?1?x?ydz(1?x?y?z)3＝
0?10dx?1?x0dy?1?x?yd(1?x?y?z)(1?x?y?z)3
0＝?121?10dx?1?x1(1?x?y?z)1?x21?x?y0dy＝?012?10dx?1?x0?1?1?dy ?2??4(1?x?y)??1?11?y?dx＝???＝???20?41?x?y?02111??1(1?x)????dx ?0?421?x?12?1?1(1?x)115???x?ln(1?x)(ln2?) ＝??＝??2?42228?01
★★★6.计算???dxdydz，其中?是由z?xy，x?y?z?1，z?0所围成的区域。
?解：由??z?xy?x?y?z?1消去z，得xy?1?x?y，区域?可分成两个区域?1和?2，
，0?x?1；
1?x1?x?2：0?z?1?x?y，?y?1?x，0?x?1。
1?x?1：0?z?xy，0?y?1?x所求＝
?11?x00dx?1?xdy?dz0xy?+
10dx?1?xdy?1?x1?x1?x?y0dz＝
?11?x0xdx?1?xydy0?+
10dx?1?x(1?x?y)dy1?x1?x
?1?x?x??dx?02?1?x?＝+
1122?y??0?y?xy?2?1?xdx??11?x1?x1?1?x?xdx??0?21?x2??＝+
112?10?1?x?x??dx?1?x?
221＝
2??01?1?x?1x?x??dx?1?x?＝22?2?1x?1?x?1?x20dx4??2x?3x?4???dx?02?x?1?＝
＝
1132?1?x3x17??4x?4ln(x?1)???2ln22?32?0＝12(和书上答案不一样)
1
★★★7.计算???edv，其中?：x2?y2?z2?1
?z解：?被积函数仅为z的函数，截面为圆域Dz：x2?y2?1?z2，故采用“先二后一”法
???e?zdv＝2????上??1z2??edv＝2?e??dxdydz＝2?e?(1?z)dz＝
00???Dz?z1z??2??10edz?2?z?z10zedz＝2?(e?1)?2?2z?1012z2zzde＝2?(e?1)?2??ze?0??z2?＝ edz?0??1?2??4??10zedz＝?2??4??101zz?zde＝?2??4??ze0???＝2?
?0edz??z1★★★8.设f(x)在(??,??)上可积，试证???f(z)dv＝??(1?z2)f(z)dz，其中?是由球面
?1?1x?y?z?1围成的空间闭区域。
222解：（法一）直接在空间直角坐标系中计算
????f(z)dv＝?1?1f(z)dz?1?z2?1?z2dy?21?y?z222?1?y?z2dx＝2?1?1f(z)dz?21?z2?1?z21?y?zdy＝
222?1?1?yf(z)??21?y?z?221?z2arcsin??21?z??y1?zdz＝?1?z2?1?1f(z)(1?z)dz
2（法二）将球域分割成许多平行于xOy面的小薄片，设第i片的竖坐标为z，厚度为dz，该片在xOy面上的投影区域记为Dz，在极坐标系下计算该三重积分：
1????f(z)dv＝??1?f(z)???d???Dz21?z2?12??dz＝f(z)dz??1?0d????1?z20?d?＝
?
1?1f(z)dz?2?0??????2?02d?＝??1?1f(z)(1?z)dz
2222★★★9.计算???(x?y)dxdydz，其中?为圆(x?b)?z?a(0?a?b)绕z轴旋转一周
?2所生成的空间环形闭区域。
解：所求＝?dz??(x?y)dxdy＝?dz??aa22a2??a0d??b?a?za?z222b?2r?rdr＝
2Dz??b??2?a??a?a?z22???b?4a?z22?4a??2dz＝8?b??b?0??a?z?a?z22?22?32??dz ?＝8?b
??b20?2acost?acostacostdt＝?ab(4b?3a)/2
33?2222习题9-5
★★1.利用柱面坐标计算三重积分
22????zdv，其中积分区域?由曲面x?y?z?4及
2223z?x?y所围成（在抛物面内的那一部分）
22解：画出积分区域的草图，经柱面坐标变换，上曲面方程为r?z?4，即z?4?r2，
下曲面方程为3z?r，即z?2r232。故?：0???2?，0?r?3，
r23?z?4?r
2????zdv＝?2?0d??r30rdr?4?rr2zdz＝
132?2?0d??30r(4?r?2r49)dr＝
?
?350(4r?r?39)dr＝
13?4
22★★ 2.利用柱面坐标计算三重积分???(x?y)dv，其中积分区域?由曲面x?y?2z及z?2?22所围成的闭区域。
2222解：x?y?2z和z?2的交线是平面z?2上的圆x?y?4，故?在xOy面上的投影区域
为Dxy：x?y?4，利用柱坐标得
2?22r222所求＝
???r?2?rdrd?dz＝?0d??0rdr3?2?r4r6?16?3dz＝2??r(2??＝ )dr＝2???032122??02r22222★★3.利用球面坐标计算三重积分???(x?y?z)dv，其中?由x?y?z?1所围成的闭区
?222域。
解：?在xOy面上的投影区域为Dxy：x?y?1，利用球面坐标得
22所求＝
????r?rsin?drd?d?＝?222?0d??rdr?sin?d?＝2??0014?15?(1?1)＝
4?5
★★4.利用球面坐标计算三重积分
z?3(x?y)
22????zx?y?zdv，其中?：x?y?z?1，
222222解：画出积分区域的草图，?：0???2?，0???2?6，0?r?1
?所求＝
???rcos??r?r?sin?drd?d?＝?12?0d??rdr?6sin?dsin?＝
0014??2?0?sin??61d??r?dr＝?08?2?0142?2?0?r5??d?＝ ??520??022★★5.计算???xydv，其中?由柱面x?y?1及平面z?1，z?0，x?0，y?0所围成的
?在第一卦限内的闭区域。
解：易知宜采用柱面坐标计算，?在xOy面上的投影为位于第一卦限的0?r?1
?14个单位圆，于是0????2，
所求＝
????rcos??rsin??rdrd?dz＝?2sin?cos?d??rdr?dz＝
000131?14
??20sin?dsin?＝
1sin?4222＝
018
★★★6.计算????x?ydv，其中?由平面y?z?4，x?y?z?1与圆柱面x?y?1所
2222围成的闭区域。
22解：?在xOy面上的投影为D:x?y?1,而当(x,y)?D时，易证1?x?y?4?y所以平面
z?4?y位于平面z?1?x?y的上方，采用柱坐标，
2?14?rsin?2?1????x?ydv＝?220d??rdr0?1?rcos??rsin?rdz＝?0d??(3?rcos?)rdr＝
02?2?
2?02???3r4?11?????sin?r?cos?d?1?cos?d?＝＝?????0?4??＝2? 44??0???01