解：为了消去被积函数里的绝对值号，用曲面z?x2?y2把?分成上下两个部分，?1、?2，作柱面
坐标变换得
?1：r?z?1，0?r?1，0???2?
?2：0?z?r，0?r?1，0???2?
22I=???z?x?ydv+???z?x?ydv
?1?22222＝
?2?0d??dr?01112r?z?r?rdz+?22?0d??dr?01r20?r2?zrdz
?＝2??r?515??4321?r?r1?r??r?r??dr ?0?22????????＝2?
??r35?＝ ?r?rdr??0?3?2?1222★★27.计算???(x?y?z)dv，其中?是由x?y?z，0?z?h所围成。
?解：由于?关于yOz坐标面、xOz坐标面均对称，故???xdv＝???ydv＝0，于是，
??所求＝
????zdv＝??dxdyDxy?hx?y22zdz＝?2?0d???d??zdz＝2?0hh??h0??h??22??1d?
2＝?
???h0h2??d?＝
3?142?h
4222★★28.计算???(x?y)dxdydz，其中?是由4z?25?x?y?及z?5所围成的闭区域。
2?解：?为锥体，宜用柱面坐标计算，将z?5代入锥面方程，
得两曲面的交线：x?y又由曲面方程知
22，故?在xOz坐标面上的投影区域Dxy：x?y?4 ?4（z?5）
2252r?z?5，所以
2?25r所求＝
???r?2?rdrd?dz＝?0d??0rdr3?52dz＝2??2055?5??543?r?＝r?5?r?dr＝2??r?102??4?0?28?
★★29. 计算???(x?z)dv，其中?由z??x?y22与z?1?x?y所围成。
22解：由于?关于yOz坐标面对称，且被积函数f(x,y,z)?x是x的奇函数，故???xdv＝0
?所求＝
????zdv＝?2??00d??4d??rcos??rsin?dr＝?01?2?40sin2?d??rdr＝
013?8
★★30.计算???(x?y?z)dv，其中?由?x2?9y2?z2??z所围成。
2222?解：利用广义球坐标变换，令x?rcos?sin?，y??(x,y,z)?(r,?,?)13213rsin?sin?，z?rcos? （1）
则J=＝1??1?rsin?＝
13rsin?将变换式（1）代入题设曲线的方程，得
2r?cos??0?r?33cos?，于是cos??0???2????2但变换式（1）本身须限定
0????于是应取0???换后积分区域为0?r?2??2，又r?cos?中r的变化范围与?无关，故应取0???2?，变
33cos?，0???2?，0????22?rcos?sin?19?2，所以
?3所求＝
?d?0?20d??cos?20??rsin?sin222??rcos???22?1?3rsin?dr
2＝
17?420
2222★★31.计算???(x?y?z)dxdydz，其中?：x?y?z?2az
?解：由于积分区域?关于yOz坐标面、xOz坐标面均对称，故
所求＝
????(x?y?z?2xy?2xz?2yz)dxdydz＝???(x?y?z)dxdydz因此可应用球
?222222坐标进行计算，球面x?y?z222?2az的球坐标方程为r?2acos?，故?在球坐标下可表示为：
?：0???2?，0????2，0?r?2acos?所求＝
????r?rsin?drd?d?＝
22?2??0d??d??202acos?0rsin?dr＝
42?5?sin???r?20?52acos?0????a＝d??5?645??20?5cos?d?cos?????＝
3215?a
5★★32.设函数f(x)具有连续的导数，且f(0)?0，试求lim1t?0?tt42???2f2?2x?y?z222?dv
x?y?z?t解：所求＝lim1t?0?t4?2?0d???0sin?d??f(r)rdr＝lim0t24?t?0?t4?0f(r)rdr＝lim24tf(t)4t32t?0＝lim
f(t)tt?0＝limf(t)?f(0)t?0＝f?(0)
t?0★★33.证明：?x0?v?u?du?dv＝1f(t)dt????????0?0?2?x0(x?t)f(t)dt
v2证：从改变积分次序入手。左边＝
?v0du?f(t)dt＝?dt?f(t)du＝?(v?t)f(t)dt，所以
00tuvv0?x0dv?v0(v?t)f(t)dt＝
?x0dt?xt(v?t)f(t)dv＝
12?x0(x?t)f(t)dt＝右边
2★★★34.设函数f(t)在(??,??)上连续，且满足
f(t)?22???x222?y2?f?x?y22?dxdy?t2?t4，求f(t)。
x?y?t解：从积分区域和被积函数的形式可见宜选极坐标计算。
f(t)?2???f????d?d??t＝2?24??t0d???f(?)d??t＝4?034?t0?f(?)d??t
34两边求导得f?(t)?4?tf(t)?4t33＝4t??f(t)?1?，所以
3f?(t)?f(t)?1＝4t3边积分得
1?1ln??f(t)?1?＝t?C，又由题设条件知f(0)?0代入上式得C?0,故
4?
ln??f(t)?1?＝t?f(t)＝
41??e?t4?1
?★★35.求由曲面z?5?x?y及x?y?4z所围成的立体的体积。
222222解：?由上半球面与向上的抛物面所围成，利用柱坐标计算。两曲面的交线为x?y?4（z?1），
故?在xOy面上的投影区域为Dxy：x?y?4（z?0） 从而0???2?2222，0?r?22将柱坐标变换
x?rcos?，
y?rsin?代入
x?y4?z?5?x?y22?r4?z?5?r
2所以所求的体积V????dv＝??2?0d??20rdr?5?r22rdz＝2?4?20?r???5?r22r??dr ?4??＝??20????5?r22r?2??dr2＝?55?4 4?3?????
★★★36.求由曲面?x2?y2?z2??a2x所围立体的体积。
2解：观察曲面方程，宜用球坐标计算，将变换式代入曲面方程得r?仅含平方项，故所求体积为第一卦限部分体积的4倍，因此
?03asin?cos?，由x?0，而y,z2?03V?4???dv＝4?2d??2d???1asin?cos?20rsin?dr＝
243??a2?20cos?d??20sin?d?＝
2?a32
★★37.设有一物体，由圆锥以及与这一锥体共底的半球拼成，而锥的高等于它的底半径a，求该物体关
于对称轴的转动惯量（??1）
222解：选球心为坐标原点，对称轴取作z轴，半球面与锥面方程分别为z?z?x?y?a半球关于z轴的转动惯量为
2?22a?x?y，
?0I1=???(x?y)dv＝??220d??2d???sin?d?d?d?＝
0a43415?a
5锥体关于z轴的转动惯量为
I2=???(x?y)dv＝??222?0d??dr?rdz＝
0r?aa03110?a
5所以该物体关于对称轴的转动惯量I=I1+I2=
1130?a
5222★★38.一个由曲面x?y?z与z?H（H?0）围成的漏斗盛满液体，斗内任一点M(x,y,z)处液体的密度为
1a?x?y222（a?0），求斗中液体的质量m
222解：设?为曲面x?y?z与z?H所围成的区域，则
m＝????1a?x?y222dv＝?2?0d??H0dz?z2ra?r20dr＝??H0dz?z21a?r20d(a?r)
22??H0?ln?a2?z2?H?22?lnadz＝??zln(a?z)?0?2??H0?dz?2Hlna? 22a?z?2z2＝?Hln(a?H)?2aarctan
???22H??2H?2Hlna? a?★★★39.求密度均匀的圆柱体对其底面中心处单位质点的引力。
解：设圆柱底半径为R,高为H,以中心轴为z轴，底面为xOy面建立空间直角坐标系，则所求引力为
柱体对原点处单位质点的引力，设引力F?Fxi?Fyj?Fzk，显然Fx?Fy?0
Fz＝K????1r2?cos?dv＝K????1r2?zrdv，取中?是圆柱体，r是圆柱中任一点M(x,y,z)处小
体积元素dv到原点（单位质点）的距离r?x?y?z，?为OM和k的夹角，于是
222Fz＝K????1r2?zrdv＝K????z?2x?y?z＝2?K222?3dv（利用柱坐标计算）
＝K?2?0d??R0rdr?Hzdz0?2r?z2?3?R0?1???r?1r?H22??rdr ??R?H22＝2?R?
?R?H2?HK引力方向同z轴正向（R?H??,Fz?0）
考研真题
★★★1.（2000年数学一）设有一半径为R的球体,P0是此球体的表面上的一个定点，球体上任一点的
密度与该点到P0的距离的平方成正比（比例常数k?0），求球体的重心的位置。
解：记所考虑的球体为?，以?的球心为原点O，射线OP0为正x轴建立直角坐标系，则点P0的坐标
为(R,0,0)，球面的方程为x?y?z222?R，设?的重心位置为(x,y,z)，由对称性得y?0，
2z?0，x????????k??x?R???222xk?x?R??y?zdv2222??y?zdv22?，而
?????x?R???y?zdv
22?＝
????x?2?y?z?0?dv+???R?2dv
?=8?20d??2d??r?rsin?dr+
0R2243?R
5＝
3215?R
2225?????x?x?R??y?zdv＝?2R???xdv＝?2??2R3????x?2?y?z22?dv＝?815?R
6