（3）画出积分区域D的草图，采用极坐标计算，D可表示为0????2，
1sin??cos??r?1，
故所求＝
??Drcos??rsin?r2??rdrd?＝?2d??011cos??sin??cos??sin??dr
?＝
?0?cos?21???sin???1??d?
cos??sin????＝
?0?cos?2?sin??1?d?＝?sin??cos????02＝2???2
（4）画出积分区域D的草图，采用极坐标计算，D可表示为0?????2，0?r?1
故所求＝
?20d??11?r1?r220?rdr＝
1?202?d??11?r1?r220dr令r?t，则dr222?dt，
r 0 1 t 0 1 所求＝
1?202?d??11?t1?t0dt＝
1?202?td??11?t?1?t1?t?1?t?0dt＝
1?202?d??11?t1?t202dt＝
1212???20?11d???dt?201?t???d???2?1?t21?10?1dt?＝221?t??20?11d??arcsint0?2??10d(1?t)??＝ 21?t??20???＝8(??2) 0?（5）画出积分区域D的草图，采用极坐标计算，
?a所求＝2?40d??cos?rdr?a0?a2?r2?32＝
?440d??cos?da?r?220?a2?r2?32?＝
?a?40d??cos?da?r?220?a2?r2?32?＝
??2?40??a?r2a?1cos?2??0d?＝2?0???1?cos?1dsin????d?＝24d??24 ???a?220a0a2?sin??a2?sin??＝
?2a2a??402??sin???arcsin?＝
22aa?2??sin??1???2??d(sin?2)?????4 ??＝6a??0★★5.求区域?的体积V,其中?由z?xy，x?y?a，z?0所围成。
解：注意到曲面z?xy在第一、三象限时位于xOy面的上方，在第二、四象限时位于xOy面的下方。
222曲面
z?xy在xOy面上的投影区域为D：x?2?ya22?a2，故所求体积为
?20V???Dxydxdy＝42??xydxdy22＝4?20d??rcos?sin??rdr＝4?0a4x?y?ax?0,y?04cos?sin?d?＝
a4?2?20sin2?d?＝?2a4?42cos2?220＝
a42
★★★6.求球体x?y?z?R与x?y?z?2Rz所围公共部分的体积。
x?y?22222234R2解：因为两球面的交线为
x?y?V?22，所以两球体公共部分在xOy面上的投影区域为D：
342R，故
222???DR?x?y?R??R?x?y222??dxdy
3＝
???2DR2?x?y22?Rdxdy?=
?22?0d??2R0?2R?r22?R?rdr
?＝
?2?0?3Rd???2?0???R?r322?d?R32?r2???3R0?Rrdr?＝
???43??R?r22?3202R?34?R=
512?R y?2pxx?x0y?03★★7.设均匀薄片所占的闭区域D由
，，所围成，求此薄片的重心。
解：不妨设该薄片的面密度为1，则该薄片的质量
M=??1dxdy＝?Dx00dx?2px0dy＝?x002pxdx＝
232px0x0
静矩Mx=
??Dydxdy＝?x00dx?2px0ydy＝?x00pxdx＝
p2x0
2My=??xdxdy＝?Dx00xdx?2px0dy＝
252px05/2
重心坐标x?MMx3＝
5x0，y?MMy＝
382px0＝
3?3?y0即重心在点?x0,y0? 88?5?3★★8.设半径为1的半圆形薄片上各点处的面密度等于该点到圆心的距离，求此半圆的重心坐标及关于x轴（直径边）的转动惯量。
解：依题意，面密度?(x,y)?M=??Dx?y。由对称性知，重心必在y轴，即x?0，故只需计算y。d?122x?ydxdy＝?222?0?0r?rdr＝
?3
My=??yDx?ydxdy＝?222?0d??rsin??rdr＝
01212。
所以y?MMy＝
1/2?/3＝
32?即重心坐标为?0,??3?? 2???132对于x轴的转动惯量为Ix=
??Dy2x?ydxdy＝?d??rsin??rdr＝
002215??0sin?d?2
＝
110??01?1???1?cos2??d?＝???sin2??＝。
10?210?0?★★9.设均匀薄片（面密度为常数1）所占闭区域D由抛物线解：Ix=??y?dxdy＝2?dx?0y?292xII与直线x?2所围成，求x和y
22920xydy＝18?2212253D0x2dx＝
725
Iy=??x?dxdy＝2?xdx?0D229220xdy＝6?2120x2dx＝
967
★★★10.设有一由y?lnx，y?0及x?e所围成的均匀薄片（密度为1），问此薄片绕哪一条垂直
于x轴的直线旋转时转动惯量最小？
解：I(t)＝??(x?t)dxdy＝?(x?t)dx?D2e2lnx10dy＝?e1(x?t)lnxdx＝
213?e1lnxd(x?t)
3＝
132?(x?t)123lnx?e1?13?e1(x?t)dlnx＝
313(e?t)?313?e1(x?3xt?3t?22t3x)dx
＝t?(e?1)t?122229e?319
令I?(t)＝2t?由于I??((e?1)＝0，得t?14(e?1) 14(e?1)时I(t)最小。
2214(e?1))＝2?0所以当t?2★★★11.计算??(Dxa22?yb22x)dxdy，其中D为椭圆形闭区域：a22?yb22?1
解：作广义极坐标变换x?arcos?，y?brsin?，则被积函数
2222xa22?yb22?r。
2x区域D：a?yb?1化为r?1，即D?:0?r?1，0???2?，而
2J=
?(x,y)?(r,?)2?＝
acos?bsin??arsin?brcos?14＝abr＝J 所以，原式＝
??rD2?abrdrd?
＝ab?0d??rdr＝ab?2??0113r40＝
?2ab
0?x????cos(x?y)dxdy
★★★12.计算0?y??D1解：由对称性知??cos(x?y)dxdy＝??cos(x?y)dxdy,
D4??D2cos(x?y)dxdy＝??cos(x?y)dxdy
D3所以，原式＝2??D1cos(x?y)dxdy?2??D2?x?t则J＝1 cos(x?y)dxdy作变换?x?y?u???0由对称性知
??D1cos(x?y)dxdy＝??cos(x?y)dxdy＝?2costdt?2du＝
0D1?2
??D2cos(x?y)dxdy＝???D2cos(x?y)dxdy＝???2?dt??cosudu＝
2??2
所以，所求＝2????2????＝2?
2?★★★13.计算重积分
??Dyx?ye(x?y)2d?，其中D是由直线
u2x?y?1y?0，x?0和所围成。
解：作变换x?y?u，
yx?y?v，则被积函数ve。
区域D化为D?：0?u?1，0?v?1，而
J=
?(x,y)?(u,v)11＝
1?vv2?uu121＝u＝J 所以，原式＝
??D?2veu2?ududv
1＝
?0vdv?ue0udu＝
?0vdv?edu＝
01u2212?10ve??u12e?1?v?e?1???＝ 0dv＝24?2?0★★★14.进行适当的变量代换，化二重积分
xy?2，
??Df(xy)d?xy?1为单积分，其中D为由曲线，
y?x，
y?4x(x?0,y?0)所围成的闭区域。
解：作变换xy?u，
yx?v，则x?uv，y?uv，D化为D?：1?u?2，1?v?4而
1J=
?(x,y)?(u,v)＝
2uvv2u?u12vv＝＝J 2vu所以，所求＝
12??f(u)?1vdudv
D?2v＝
12?4121?2???f(u)du?dv＝ln2?f(u)du
1?v?1★★★15.作适当的变换，证明等式
??Df(x?y)dxdy＝
?1?1f(u)du，其中闭区域D:
x?y?1u?v2
解：画出积分区域的草图，并结合被积函数的形式，作变换x?y?u，x?y?v，即x?y?u?v2，区域D化为D?：?1?u?1，?1?v?1，而
，
J=
?(x,y)?(u,v)＝
1/21/2121/2?1/2＝?12，所以J＝
12
所求＝
??D?f(u)?dudv＝
1?21?1dv?1?1f(u)du＝?1?1f(u)du
习题9-4
★★1.化三重积分???f(x,y,z)dxdydz为三次积分，其中积分区域?分别是：
?（1） 由z?xy，x?y?2，z?0所围成的闭区域；
（2） 由六个平面x?0，x?2，y?1，x?2y?4，z?x，z?2所围成的闭区域； （3） 由曲面z?x?2y及z?2?x所围成的闭区域。
222