f(x,y)?0，所以??f(x,y)d?＝0，因此I=??f(x,y)d?+??f(x,y)d?＝
D1DbD2?b?
a0dx?b?xa?xe?(x?y)dy+?2adx?b?x0e?(x?y)dy＝ae?a?be?e?a?e?b
★★13.计算I=??x?y?2xdxdy，其中D：x2?y2?4
D2解:为去掉被积函数的绝对值，将积分区域分成如下两个部分:D1: 2x?x?y?4,
22D2: x?y?2x,则I=???x?y?2x?dxdy+???2x?x?y?dxdy
222222D1D2＝
???xD1?D22?y?2xdxdy+2??2x?x?ydxdy
D22??22?==
???2?02?d??r?2rcos?rdr+2?02??2???/2??/2d??d??2cos?02cos??2rcos??r?rdr2
0d??r?2rcos?rdr+2?0222?/2??/20?2rcos??r?rdr22cos?2?=
04?/2?2?r423?r?3??4?3rcos???d?+2???/2??3rcos??4????0??0d?
=
?2?0?/2?1616???44+4?cos?d?2cos??rcos?????d? ???/23???3?2?2?416163?1???4sin??+4?cos?d?＝8????＝9? =?4??0334?223??0
★★14. 计算I=??1?sin(x?y)dxdy，其中D是由直线y?x，y?0，x?D2?2所围成。
解：I=??cos(x?y)dxdy，划分积分区域D以去掉绝对值
DI=??cos(x?y)dxdy+????cos(x?y)?dxdy
D1D2??＝
?40dy?2y?y?cos(x?y)dx-??2dx??4x?xcos(x?y)dy
2??2x?y)?y＝
?0?sin(4?y?dy-??2?sin(x?y)??x42dx
?x??＝
?0?1?sin42y?dy-??2?sin2x?1?dx＝
4?2?1
★★★15.设f(x)?C[a,b]，f(x)?0，证明?f(x)dx?abbdxf(x)2a?(b?a)
证明：化成二重积分证明，记D=[a,b;a,b]，由不等式A2?B2?2AB,有
bdy1?b左边＝??f(x)dx??af(y)2?abb?af(y)dy?adx?1?＝f(x)?2??D?f(x)f(y)????dxdy f(y)f(x)??2＝
??Df(x)?f(y)2f(x)f(y)22dxdy???2f(x)f(y)D2f(x)f(y)dxdy＝D的面积＝(b?a)
★★16.计算以xOy面上的由圆周x?y?ax所围成的闭区域为底，以曲面z?x?y为顶的曲
顶柱体的体积。
2222a???a?2解：将底D：?x???y???用极坐标表示
2???2?22????D??(r,?)|0?r?acos?,?????,利用积分区域和被积函数的对称性，所求体积
22??V＝???x?y?d?＝2?2d??22D?acos?003?1?3?a ??＝r?rdr＝a?2cos?d?＝
0224?22322??44a44★★17.在均匀半圆形薄片的直径上，要接上一个一边与直径等长的均匀矩形薄片，为了使整个均匀薄片
的重心恰好落在圆心上，问接上去的均匀矩形薄片另一边的长度应是多少？
解：设旁接矩形的宽度为b，建立如图坐标系，由于要求拼接的平面块形的重心在圆心（坐标原点），故
平面块对y轴的静力矩应为0，即有关系式My?0。
RMy???xd?D???xd?D1???xd?D2＝
?0??bdx??Rxdy+?2?d???2R0??b?rcos??rdr＝?2R???+
2??2R3?3
sin?2??2＝?Rb2?23R由此推出b?323R
2★★18.密度均匀的平面薄片，由曲线y?x，x?0，y?t?0（x?0,t可变）所围成，求该可
变面积平面薄片的重心轨迹。
解：M=??d?＝?Dt0dx?2dy＝?xtt0?t?x?dx＝t2t243/2?13t3/2＝
23t3/2
Mx=??yd?＝?Dt0dx?tx2ydy＝
1??t20?xdx＝
?1?5/215/2?25/2?t?t?＝t
2?5?5My=??xd?＝?Dt0xdx?2dy＝?xtt0xt?xdx＝t??2?t2?t24＝
t24，于是
x?MMy＝
38t1/2，y?MMx＝
35t
这是可变面积平面薄片重心的参数方程，消去参数，即得重心的直角坐标系下方程为y?条抛物线。
6415x，仍是一
2★★19.已知均匀矩形板（面密度为常数?）的长和宽分别为b和h，计算此矩形板对于通过其形心且分
别与一边平行的两轴的转动惯量。
解：取形心为圆点，两条坐标轴分别平行于矩形的两边，则矩形为[?bh203bbhh,;?,] 22222Ix????yD2d?＝4??dx?20h201?h??bhMh2＝ydy＝2?b???＝
3?2?12123
b0Iy?4??2xdx?2dy＝
?bh123＝
Mb122。其中M??bh为矩形板的质量
2★★20.求由y?ax及直线x?a（a?0）所围成的图形对直线y??a的转动惯量
（密度?＝1）
解：（法一）Iy??a?854??D(y?a)dxdy＝?dx?02aaxax?(y?a)dy＝
21?2ax?3a0ax?6a2axdx＝
?a
2（法二）先作平移变换y??y?a，x??x，则区域D变成了D?，D?由(y??a)?ax?和x??a2aa围成。Iy??a?Iy?＝
??D?y?dx?dy?＝?20dy??(y??a)2y?dx?＝?a22a28412?2?y??a?(y??a)?dy?＝a
5a??★★★21.试证
??Df(ax?by?c)dxdy＝2?221?11?uf(ua?b?c)du其中闭区域
222D:x?y?1，且a?b?0
22证：令ax?by?a?b22?au?2?bu222?，为了便于解出对称的x和y并便于计算J，不妨再令
a?bax?by?a?a2?bu?2abva?b222?，则x?au?bva?b22，y?bu?ava?b22
?b2J＝
a?bba?b22a?baa?b222?2a222a?b?b222a?b?1，由D:x?y?1有
222?au?bv??22?a?b??bu?av?????22??a?b2222222?a?bu?a?bv22???u?v?1所以D?也为单位圆22?a?b?2????域，故所求＝
??D?f(ua?b?c)Jdudv22＝
?1?1f(ua?b?c)du?221?u2?1?u21dv＝
?
1?121?u?f(ua?b?c)du＝右边。
222★★★22.计算???(x?y?z)dxdydz，其中?是由平面x?y?z?1与三个坐标面围成。
?解：由积分区域和被积函数对三个变量的轮换对称性得???xdv＝???ydv＝???zdv故
???所求＝3
????xdv＝3?dx?011?x0dy?1?x?y0xdz＝3?dx?011?x0x?1?x?y?dy
2?y?32dx＝3??xy?xy?x?＝?022??011?x??x?2x012?xdx＝
3?18
2222★★23.计算???y1?xdv，其中?由y??1?x?z，x?y?1以及y?1所围成。
?1222解：易知?在xOz面上的投影区域D：x?z?1，因此所求＝??dxdzD22??1?x?zy1?xdy＝
2??D?y2?21?x????2??21dxdz
1?x?z22＝
??D11?x?2x?z22dxdz＝?1?11?xdx?21?x2x?z222?1?x2dz
＝
28?24121??x?x?dx＝ ????1?34533?★★24.计算
????zdxdydz，其中?是由锥面
z?hRx2?y2与平面z?h（R?0,h?0）所围成的闭区域。
222解：将锥面与平面的方程联立，消去z，得投影柱面的方程x?y?R,即x?y?R，故?在
22xOy面上的投影区域Dxy：?R?x?R,?RR?x222R?x?y?R?x22222R?x，于是
22所求＝
??Rdx??R?x2dy?hhx?y22zdz＝
12RR?2R?Rdx?2?R?x22?2h22?h?x?y??dy 2R?????2h?2y???xy??＝??hy?2????RR3???0?R23?xdx
?R?h2＝2?0??R2?x2?h?2?2xR??2R2?x2??R2?x32?3????dx ????2＝
43?R02?2h42?22??h?xR?xdx（令）＝x?Rsin?2??R3????20hcos??Rcos??Rcos?d?
2＝
43hR223?1??22?＝hR 4?22411?xx?y★★★25.交换下列积分的积分顺序:I= ?dx?00dy?0f(x,y,z)dz改换成先对x最后对y的积
分顺序。
解：交换三重积分的积分顺序，可分两步走，其中的每一步均是二重积分交换积分顺序的问题，对本题，
第一步，交换x与y的次序；第二步，交换x与z的次序，就会得到以x,z,y
的顺序的累次积分。对第一步，其积分区域Dxy：0?x?1，0?y?1?x，所以
x?yI= ??dxdyD?0f(x,y,z)dz＝ ?dy?011?y0dx?x?y0f(x,y,z)dz，对第二步，其积分区域Dxz：
0?x?1?y，0?z?x?y，所以
1I=?dy0??Dxzf(x,y,z)dxdz＝?dy?dz?001y1?y0f(x,y,z)dx+?dy?dz?0y111?yz?yf(x,y,z)dx
22★★★26. 计算I= ???z?x?ydv，其中?：0?z?1，x?y?1
?22