2. ?n?3k2m，见图（d）或(e)
7-14 分析图中所示7组振动模型，判断哪几组中的两个系统具有相同的固有频率。
答：图(a)、(b)、(e)、(g)均具有相同的固有频率。
习题7-14图
7-15 图示匀质摇杆OA质量为m，长为l，匀质圆盘质量为m，当系统平衡时摇杆处在水平位置，而弹簧BD处于铅垂位置，且静伸长为?st，设OB=a，圆盘在滑道中作纯滚动。
12试求系统微振动固有频率。
解： 1、弹簧刚度k
— 1 —
静平衡时，轮缘摩擦力 Fs?0，由系统平衡。 ?MO?0，
m2gl?m1gl2?Fka?0
即 k?sta?k??m1?2m2?gl2?m1?2m2?gl2a?st1
(1)
2、?n
T2?T轮A?T杆OA?m2212m2vA?212JA?A?2122JO??
??l???2?1m2?R?l?2??2?2?2?l????11m?22?3m2????m1l2??2?????1?l???R?l??236??4???
由于以平衡位置为?角的起始位置，弹簧静位移?st产生的弹性力与重力m1g，m2g相抵消，故此后计算时，只考虑弹簧偏离平衡位置产生的弹性力，从平衡位置到?角，弹力功：
W12??k2T2?T1?W12
?a??2，
T1?0
即
ddt1k22?3?22?m2?m1?l????a?62?4?1?3?2??2??ka?????m2?m1?l???3?4?????l6ka?22
(2)
:
?9m2?2m1?2?0 ?0?(1)代入(2),得
6kal2?9m2?2m1??0?3agm1?2m2?l?st?2m1?9m2?
7-16 一单层房屋结构可简化为如图所示的模型：房顶可视为质量为m的刚性杆，柱子可视为高为h、弯曲刚度为EI的梁，不计柱子的质量。试求该房屋水平振动的固有频率。
x m hxEI 2
xxh
222 习题7-16图
(a)
解：柱子两端都是固定端，可看作两根长的悬臂梁坚固对接，见(图a)。
2h悬臂梁的最大挠度为wmax本题中l?h2?FPl33EI 见(图b)
EIFP ，wmax?x2
wmaxl
(b)
— 2 —
于是有
?h?FP??x?2??23EI3
FP?12EIxh3由上可算出
在层顶位移x时，两根立柱产生2FP的弹性阻力，故屋顶的运动微分方程为
??m?x?24EIxh3 即
???x24EImh3x?0
?24EImh3这是简谐振动方程，其固有频率为 ?0
7-17 长为l、质量为m匀质杆两端用滑轮A和B安置在光滑的水平和铅垂滑道内滑动，并联有刚度系数为k的弹簧，如图所示。当杆处于水平位置时，弹簧长度为原长。不计滑轮A和B的质量，试求AB杆绕平衡位置振动的固有频率。 解：设杆在水平位置时，势能为0，则势能
V??mg
l2sin??k21
?l?1?cos???2??lsin??2
22k??1mglsin??kl?1?cos?? 2
习题7-17图
2??klsin??0 平衡： V??????mglcos
tan??2mg2kl， ?0?arctanmg2kl （平衡位置角）
设杆偏离平衡位置?0一微小角度?，则杆的动能
1122?ml?? 23l??0????kl2?1?cos??0???? 弹簧势能 V??mgsin2保守力场（理想约束）机械能守恒： T?V?C
T?即
ddt1622??ml?l2mgsin??0????kl?1?cos??0?????C2
:
132?????ml?l22??0 mgsin??0????klsin??0????????即 ?3g2l??0????cos3km??0????0sin （1）
微振动，?
??1，此时
cos??0????cos?0cos??sin?0sin??cos?0??sin?0 sin??0????sin?0cos??cos?0sin??sin?0??cos?0?3g?2lsin?0?3k
????代入（1）得， ?3g3k?cos?0???cos?0?sin?0 m2lm???0?3g2lsin?0?3kmcos?0 其中 ?0?arctanmg2kl
7-18 质量为m1的质块用刚度系数为k的弹簧悬挂，在m1静止不动时有另一质量为m2的物块在距m1高度为h处落下，如图所示。m2撞到m1后不再分开。试求系统的振动频率和振幅。
解：两质块在一起振动时，其固有频率为：
??km1?m2 （1）
— 3 —
习题7-18图
m2块下落至碰撞前速度
v?2gh
2gh相碰后，m1?m2的速度
v??m2m1?m2 （动量守恒）
弹簧加上m1时，已伸长了 ?1再加m2后，需再伸长
?m1gk
k?2?m2g
其重力和弹性力才能平衡，若以静平衡位置为坐标原点，如图，则系统振动方程为
?x?Asin?????xk?t????m1?m2?k （2）
（3）
?1?2Ox?Acos??m1?m2??t???
?m1?m2?k振动开始于m1,m2碰撞之末，此时（t=0）它们的坐标为：
xt?0???2???t?0?v??xm2gk
(a)
（4）
2ghm2m1?m2 （5）
t?0 时，由（2）、（3）得
xt?0?Asin? （6）
?t?0?xkm1?m2Acos? （7）
比较（3）、（6）和（5）、（7）得，
Asin???m2gk， Acos??A2m2km1?m2222gh
两边平方，相加得
?m2gk222?2ghmk?m1?m2?
A?m2gk1?2hk?m1?m2?g丽丽太难了
第8章 动量定理及其应用
8－1 计算下列图示情况下系统的动量。 (1) 已知OA＝AB＝l，?＝45°，?为常量，均质连杆AB的质量为m，而曲柄OA和滑块B的质量不计（图a）。
(2) 质量均为m的均质细杆AB、BC和均质圆盘CD用铰链联结在一起并支承如图。已知AB = BC = CD = 2R，图示瞬时A、B、C处于同一水平直线位置，而CD铅直，AB杆以角速度ω转动（图b）。
(3) 图示小球M质量为m1，固结在长为l、质量为m2的均质细杆OM上，杆的一
A B B ω C ω 60?M D (b)
习题图 — 8-14 —
(c)
A O v
? ? O (a)
端O铰接在不计质量且以速度v运动的小车上，杆OM以角速度ω绕O轴转动（图c）。
解：（1）p = mvC =
52）； ml?，方向同vC（解图（a）
（2）p = mvC1 + mvC2 = mvB = 2Rm?，方向同vB，垂直AC（解图（b））； （3）p?[m1(v?l?cos60?)?m2(v?l2?cos60?)]i?(m1l?sin60??m2l2?sin60?)j
?[(m1?m2)v?
O1 A A 2m1?m24l?]i?3l?2m1?m24）。 j（解图（c）
y ω C1 vC1 vB B C2 vC2 C vr ω O 60?M v vC B C v ? ? O (b)
D (c)
x (a)
习题8-1解图
8－2 图示机构中，已知均质杆AB质量为m，长为l；均质杆BC质量为4m，长为2l。图示瞬时AB杆的角速度为ω，求此时系统的动量。
解：杆BC瞬时平移，其速度为vB p?pAB?pBC?ml2vB B ω O 45? 45? A
??4ml??92ml? C 习题8－2解图
方向同vB 。
8－3 两均质杆AC和BC的质量分别为m1和m2，在C点用铰链连接，两杆立于铅垂平面内，如图所示。设地面光滑，两杆在图示位置无初速倒向地面。问：当m1= m2和m1= 2m2时，点C的运动轨迹是否相同。
y 解：根据受力分析知：?Fx?0，故系统的质 C 心在水平方向运动守恒。
当m1= m2时，系统关于y轴对称，质心位于y轴上，且沿y轴作铅垂直线运动，点C的运动轨迹亦为铅垂直线。
当m1= 2m2时，质心位于y轴左侧，且作铅垂直线运动，点C的运动轨迹必为曲线。
故两种情况下，点C的运动轨迹不相同。
A m1g d m2g B FNA 习题8－3解图
FNB
8－4 图示水泵的固定外壳D和基础E的质量为m1，曲柄OA=d，质量为m2，滑道B和活塞C的质量为m3。若曲柄OA以角速度ω作匀角速转动，试求水泵在唧水时给地面的动压力（曲柄可视为匀质杆）。
解：以整个水泵为研究对象，受力如图（a）：
— 5 —
习题8－4图