其中：δrD?2δrB；δ?代入式（1）得：
?δrDl?2δrBl
FB?δrB?F?2δrB?M?FB?2F?2Ml?2(F?2δrBl)?0
Ml
解除C处约束，系统的虚位移如图（b）， 应用虚位移原理：FC?δrC?M?δ??0 （2） 将δrC?lδ?代入式（2）得： FC?Ml
12－11在图示多跨静定梁中，已知F = 50kN，q = 2.5kN/m，M = 5kN · m，l = 3m。试求支座A、B与E处的约束力。
F A l l B 2l q C 2l D 2l M E 解：解除A处约束，系统的虚位移如图（a）， 应用虚位移原理：
FAδrA?FδrF?2ql(δr1?δr2)?Mδ??0 （1）
其中：δrF?δr1?δrA2；δr2?3δrA4；δ??δrA4l
?rA A ?rF B 习题12-11图
q C D ?? ?r2 2l M E 2l 代入式（1）得：
(FA?F2?2ql54?M?14l)δrA?0；FA?6.667kNF FA l l ?r1 2l
F A B FB （a） q C D ?? ?r2 2l 2l M E 解除B处约束，系统的虚位移如图（b）。
FδrF?FBδrB?2ql(δr1?δr2)?Mδ??0 （2）
其中：δrF?δrB2；δr1?δr2?3δrB2；δ??δrB2l
?rF ?r ?r1 Bl l 2l 代入式（2）得：
(F2?FB?6ql?M?12l)δrB?0；FB?69.167kNF （b）
q D B C ?r 22l 2l M ?? 2l FE E ?rE
A l l 解除E处约束，系统的虚位移如图（c）。
2qlδr2?FEδrE?Mδ??0 （3）
（c）
将δr2?lδ?；δrE?4lδ?代入式（3）得：(2ql2?4lFE?M)δ??0；FE?4.167kN
12－12 试求图示梁——桁架组合结构中1、2两杆的内力。已知F1?4kN，F2?5kN。
解：1．求杆1内力，给图（a）虚位移，则 δyD?3δ?，δyE?2δ? δrF?5δ?，δrG?5δ? 虚功式
?F1δyD?F2δyE
?1δrGco??FN1δrFco?s?FNs?0
A
F1习题12-12图 ?yDF2???yE— 36 —
D3m5mF?C?rF?rG?EBFN1?FN1G
即
?F1?3δ??F2?2δ??FN1?5δ??35?1?5δ???FN35?0
6FN1?3F1?2F2FN1?F12?F23?
113kN（受拉）
2．求杆2内力，给图（b）虚位移，则
δrH?4δ?，δrD?3δ? δrE?2δ?，δrG?5δ?
δrF，δrG在FG方向投影响相等，即 δrFco?s?δrGco?s
δrF?δrG 虚功式
?δrFsi? ?F1δrD?FN2δrH?F2δrE?FN2n?0 即
12－13 在图示结构中，已知F = 4kN，q = 3kN/m，M = 2kN · m，BD = CD，AC = CB = 4m，θ = 30o。试求固定端A处的约束力偶MA与铅垂方向的约束力FAy。
?F1?3δθ?FN2?4?θ?F2?2?θ?FN2?5?θ?45?0F1?rDF2?rH??AD5m???rEBE??HFN2?FN2C?rG??F?rFG
C
(b)
8FN2??3F1?2F2??22FN2??114kN
F D M θ q 习题12-13图 ?rC F ?rD ?? q ?r A MA D θ M B ?rB
q （a） （b） ?rA FAy C ?rD D ??BC F M θ ?rB B B kN
解：解除A处约束力偶，系统的虚位移如图（a）。
MAδ??2qδr?Fsin?δrD?0 （1）
C ?rC 其中：δr?1?δ?；
δrC?δrD?δrB?4?δ?
O 代入式（1）得：
(MMAA?2q?4Fsin?)δ??0 ?4Fsin??2q?2kN?m
解除A处铅垂方向位移的
约束，系统的虚位移如图（b）。 应用虚位移原理：
FAyδrA?Fcos2?δrD?Mδ?BC?0 （2）
其中：δrA?δrC?4cos?δ?BC；δrD?2δ?BC
代入式（2）得：(FAy?4cos??Fcos2??2?M)δ?BC?0；FAy?
12－14 图示结构由三个刚体组成，已知F = 3kN，M = 1kN · m，l = 1m。试求支座B处的约束力。
O 1?F?M4cos30??0.577kN
A 习题12-14图 l B 2l C 3l l l 2l B ?rB FB C ?rC 3l ??CE M F E l M E F D l ?rE ?rF l l ? D l — 37 — A （a）
解：解除B处约束，系统的虚位移如图（a）。应用虚位移原理：
?FBδrBsin??Mδ?CE?FδrF?0 （1）
其中：sin??1；δrE10?2δrF?4lδ?CE；δrC?32lδ?CE；δrB?δrC?δ?CE
10l32l代入式（1）得：(?FBl?M?F?2l)δ?CE?0；FB??M?F?2l?5kN
12－15 在图示刚架中，已知F = 18kN，M = 4.5kN · m，l1 = 9m，l2 = 12m，自重不计。试求支座B处的约束力。
l1 F D E l2 M A B 习题12-15O ??DB l1 F ?rF l2 D ?rD ?rE A B FBx E l1 C ?rC O E l1 在铅垂平
O 若取xl/2?? ?x P 习题13－1图
A M B ?rC C M l1 l1 C l1 l1 解：解除B处水平方向位移的约束，系统的 虚位移如图（a）。应用虚位移原理：
FBxδrBx?FδrF?0 （1）
其中：δrBx?OB?δ?DB?2l2δ?DB；
?l2?l2δ?DBδrD?OD?δ?DB；δrF?δrDAD
代入式（1）得：(FBx?2l2?F?l2)δ?DB?0
FBx??F2??9kN
解除B处铅垂方向位移的约束，系统的 虚位移如图（b）。应用虚位移原理：
FByδrBy?FδrF?Mδ?CE?0 （2）
?rBx （a） 其中：δrBy?AB?δ?DB?2l1δ?DB；
δrD?OD?δ?DB；δrF?δrDAD?l2?l2δ?DB?AEOE
F ?rD l1 D l1 ?rE l1 ??CE δrE?AE?δ?DB?OE?δ?CE；δ?CE?δ?DB
?rF l2 且：AE?5l1；OE?52l1；则：δ?CE?2δ?DB??DB A 代入式（2）得：
(FBy?2l1?F?l2?2M)δ?DB?0*第13FBy ?r By章 动力学普遍（b） 方程 和第二类拉格朗日方程
13－1 图示均质细杆OA长为l，重力为P，在重力作用下可x 面内摆动，滑块O质量不计，斜面倾角?，略去各处摩擦，
— 38 —
????l1 及?为广义坐标，试求对应于x和?的广义力。
解：应用几何法，令δx?0；δ??0
?Psin??δ?l2δ???则：Q??δW?δ?12Plsin?
令δx?0；δ??0 则：Qx?
13－2 图示在水平面内运动的行星齿轮机构，已知固定齿轮半径为R，均质行星齿轮半径为r，质量为m，均质杆OA质量为m1，杆受矩为M的力偶作用而运动，若取?为广义坐标，试求相应的广义力。
A M O δW??δx??Psin?δxδx??Psin?
解：应用几何法，设对应于?的虚位移δ??0 则：
Q??
??δWδ??Mδ?δ??M
习题13-2图
13－3 在图示系统中，已知：均质圆柱A的质量为M、半径为R，物块B的质量为m，光滑斜面的倾角为?，滑轮质量忽略不计，并假设斜绳段平行斜面。若以??和y为广义坐标，试分别用动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程求：
（1）系统运动微分方程；
（2）圆柱A的角加速度和物块B的加速度。
解：（1）在系统上施加惯性力如图（a）所示。
??)；F?m?其中：FIA?M(?? ??R?yyIBM????JA?122?? MR?A ????习题13-3图
B y IA应用动力学普遍方程，
(mg?FIB?FIA?Mgsin?)δy?(FIAR?MIA?Mgsin?R)δ??0 可得系统运动微分方程：
??)?Mgsin??0 ??M(???R?mg?m?yy??)R?1MR2????Mgsin?R?0 ??R?M(?y2FIA MIA A ??Mg y FIB B ?????(Msin??m)g?0 ??MR?整理后有：(m?M)?y32??????gsin??0 R?y（a） mg 应用第二类拉格朗日方程：
— 39 —
T?12??my211122??R??)2；V??mgy?Mgsin?(y?R?) ?MR???M(y22212??my2L?T?V?11122??R??)2?mgy?Mgsin?(y?R?) ?MR???M(y222??)；?L?mg?Mgsin? ??M(???R??m?yy?dt?y?yd?L?dt?y?L?y???(Msin??m)g?0 （a） ??MR?y?0；(m?M)?d?L?d?L12????)；?L?Mgsin?R ??R??MR??RM(?ydt???2??d?L?L3????0；R???gsin??0 （b） ??ydt?????2（2）求圆柱A的角加速度和物块B的加速度。 由式（b）得：???y(m?M)(3232???gsin?代入式（a），有 R????gsin?)?MR????(Msin??m)g?0 R?3(1?sin?)mg(3m?Msin?)g???2(1?sin?)mg；a???解得：?A?? y??gsin??BM?3mM?3m(M?3m)R
13－4 在图示系统中，已知滑块A的质量为M，至于光滑水平面上，其上作用有水平力F，均质杆AB长2b，质量为m，若选取x和??作为系统的广义坐标，试建立系统运动微分方程。
解：应用第二类拉格朗日方程。对应于?
广义坐标x和?的广义力分别为：
Qx?F；Q???mgbsin?
x A Mg ? C b?? ? xF 杆AB质心C的速度为：
??b??cos?)2?(b??sin?)2 vC?(xmg B 习题13-4图
系统的动能为：
T?12??Mx21122?2?2x?b??cos??b2??2) m4b???m(x2122?1??cos??sin???2)；?T?0 ??m???mb(??M?xx?dt?x?xd?T?dt?x?xd?T1?T2??2???cos??sin?x???)；??? ?mb??mb??mb(?x??mbsin?xdt???3????Td?T???mbsin???2?F?0 （a） ??mbcos???Qx；(m?M)?xd?T?T4???bcos????Q?；b2???gbsin??0 （b） x?dt????3式（a）、（b）即为系统运动微分方程。
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