F??pt?6.03人头受力F
0.15与?p?40.2N
反向，即向左下方。
9－20 边长为a的方形木箱在无摩擦的地板上滑动，并与一小障碍A相碰撞。碰撞后绕A翻转。试求木箱能完成上述运动的最小初速v0；木箱碰撞后其质心的瞬时速度vC与瞬时角速度?。
?v vO
?45
碰前碰末 习题9－20图
(a) (b)
CA
解：碰前方箱以初速度v0平移，碰后箱绕A点转动直到翻倒，碰撞中箱只在A点受冲量，重力等其它有限力的冲量可忽略不计，因此碰撞前后箱对A点的动量矩守恒。
设箱的质量为m
JA?md2?JC?16ma2?m(222a)2?23ma2
??0vC?0对A动量矩守恒：mv0 ??3v04aa2?3ma?2
C （1）
?0A若箱刚能完成翻转，则转到最高点时?最高点机械能守恒，即
mga2ma2，从碰后到
转到最高处
?21223?ma?2222?mg22)a(c)
a
由（1）得， 由此，??139v016a?mg(2?12
3v016?0.207agag
v0?1.05 ，
vC?a23v04a?0.788ga??0.557ag（方向如图示）
*9－21 台球棍打击台球，使台球不借助摩擦而能作纯滚动。假设棍对球只施加水平力，试求满足上述运动的球棍位置高度h。
h
习题9－21图
解：设杆给球的冲量为I，受击后球心速度为v，球的角速度为?，球质量为m。
动量定理：I?mv （1）
对质心动量矩定理：I(h?r)?
25mr?2ICd (a)
?v（2）
r— 16 —
(b)
纯滚动：v?r? （3） （1）、（3）代入（2），消I、v得
h?r?25r h?75r?710d
*9－22 匀质杆长为l，质量为m，在铅垂面内保持水平下降并与固定支点E碰撞。碰撞前杆的质心速度为vC，恢复因数为e。试求碰撞后杆的质心速度vC?与杆的角速度?。
解：碰后E点不动，v??evC n 杆只有D点受冲量，故相对D点动量矩守恒
mvC?l4?(m12l?2ml2 由此可解出：?l4?1612vC)?
习题9－22图
7l
37设碰后C点速度vC?出向上，由图(a)可知
??v?vC?D??(e?37)vC
37?应向下。 时，vC由此式知，当e??确实向上，若e?时，vC第10章 动能定理及其应用 v??vCD ?10－1 计算图示各系统的动能： AB1．质量为m，半径为r的均质圆盘在其自身平面内作平面运动。在图示位置时，若已知圆盘DC上A、B两点的速度方向如图示，B点的速度为vB，??= 45o（图a）。 2．图示质量为m1的均质杆OA，一端铰接在质量为m2的均质圆盘中心，另一端放在水平面上，圆盘在地面上作纯滚动，圆心速度为v（图b）。
(a) 3．质量为m的均质细圆环半径为R，其上固结一个质量也为m的质点A。细圆环在水平面上
作纯滚动，图示瞬时角速度为?（图c）。
A ? vA C B O A v ??A vB (a)
(b)
习题10－1图
(c)
解：
1132v22?mr(B)?mvB
2222222r16111113222v2222．T?m1v?m2v??m2r()?m1v?m2v
2222r241．T?1mvC?21JC?C?21m(vB)?23．T?12mR??2212mR??2212m(2R?)?2mR?
22210－2 图示滑块A重力为W1，可在滑道内滑动，与滑块A用铰链连接的是重力为W2、长为l的匀质杆AB。现已知道滑块沿滑道的速度为v1，杆AB的角速度为?1。当杆与铅垂线的夹角为?时，试求系统的动能。
解：图（a）
T?TA?TB
v1AvrvC?? — 17 —
习题10－2图
Cv1?1B(a)
??1W12gW12g2v1?(W22g[(l21W22g2vC?2212JC?)2
v1?l2
2?1)?v1?l22?2??1v1cos?]??lW212g
l22??1?12g[(W1?W2)v1?13W2l?1?W2l?1v1cos?]
22
10－3 重力为FP、半径为r的齿轮II与半径为R?3r的固定内齿轮I相啮合。齿轮II通过匀质的曲柄OC带动而运动。曲柄的重力为FQ，角速度为?，齿轮可视为匀质圆盘。试求行星齿轮机构的动能。
解：
T?TOC?TC
1122?JO???(mCr)?C 222211FQ1FP1FP22r?2222?[(2r)]??(2r?)?r() 23g2g4gr2OC2mCvCvCC11?C?O
习题10－3图
(a)
?r?3g22(2FQ?9FP)
10－4 图示一重物A质量为m1，当其下降时，借一无重且不可伸长的绳索使滚子C沿水平轨道滚动而不滑动。绳索跨过一不计质量的定滑轮D并绕在滑轮B上。滑轮B的半径为R，与半径为r的滚子C固结，两者总质量为m2，其对O轴的回转半径为ρ。试求重物A的加速度。
解： 将滚子C、滑轮D、物块A所组成的刚体系统作为研究对象，系统具有理想约束，由动能定理建立系统的运动与主动力之间的关系。 设系统在物块下降任意距离s时的动能 动能：T?其中?C?1212m1v?2AB R Cr O 12m2v?2C12D JC? vArA 2CvAR?r，vC??Cr?r22R?r2，JC?m2? 1(R?r)2A2 习题10－4图
T?[m1?m2(R?r)?m2?]v?212[m1?m2r??22(R?r)]vA 22力作的功：W?m1gs 应用动能定理：
12[m1?m2r??222(R?r)]vA?m1gs
2将上式对时间求导数：[m1?m2r??222(R?r)? ]vAaA?m1gs222求得物块的加速度为：aA?m1g(R?r)2m1(R?r)?m2(r??)
10－5 图示机构中，均质杆AB长为l，质量为2m，两端分别与质量均为m的滑块铰接，两光滑直槽相互垂直。设弹簧刚度为k，且当θ = 0?时，弹簧为原长。若机构在θ = 60?时无初速开始运动，试求当杆AB处于水平位置时的角速度和角加速度。
— 18 —
B O A θ k
解：应用动能定理建立系统的运动与主动力之间的关系。 动能：T?12mvA?212mvB?212JO?AB2
1322ml
其中：vA?lsin??AB；vB?lcos??AB；JO?T?12ml?AB?2213ml?AB?225622ml?AB
外力的功：W56?mgl(sin60??sin?)?2mgl2(sin60??sin?)?2k2[(l?lcos60?)?(l?lcos?)]
222T = W ；ml2?AB?2mgl(32?sin?)?k2l[14?(1?cos?)]
2 （1）
2当??0时：W?3mgl?kl
856ml?22AB?3mgl?kl82；?AB?635lg?3k20m?243mg?3kl20ml
对式（1）求导：5ml2?AB?AB其中：?????ABk2??2mglcos????l2(1?cos?)sin???；
32；当??0时：?AB?6g
5l10－6 图a与图b分别为圆盘与圆环，二者质量均为m，半径均为r，均置于距地面为h的斜面上，斜面倾角为?，盘与环都从时间t?0开始，在斜面上作纯滚动。分析圆盘与圆环哪一个先到达地面？
习题10－6图
解：对图（a）应用动能定理：mvC1?mgssin?；求导后有aC1?43223gsin?
设圆盘与圆环到达地面时质心走过距离d，则d?12aC1t1；t1?22daC112?3dgsin?
2 对图（b）应用动能定理：mvC2?mgssin?；求导后有aC2?gsin?
d?12aC2t2；t2?22daC2?4dgsin?
因为t1 < t2，所以圆盘（a）先到达地面。
10－7 两匀质杆AC和BC质量均为m，长度均为l，在C点由光滑铰链相连接，A、B端放置在光滑水平面上，如图所示。杆系在铅垂面内的图示位置由静止开始运动，试求铰链C落到地面时的速度。
解：设铰链C刚与地面相碰时速度v?vC。根据运动学分析A?点及B?点分别为A?C?及B?C?杆的速度瞬心，如图（a）
?A?C??vCl?vl??
习题10－7图
A??A?C??B?C?C?B? — 19 —
vC
(a)
?B?C??vClh213?vl??
动能定理：
2?mg?mgh?v??mv112?ml?2322?2?0
3gh
10－8 质量为15kg的细杆可绕轴转动，杆端A连接刚度系数为k=50N/m的弹簧。弹簧另一端固结于B点，弹簧原长1.5m。试求杆从水平位置以初角速度?0=0.1rad/s落到图示位置时的角速度。
1122(ml)?023112(ml)?232解：T1?，
2T2?2
W12?mg?32?k2[(2?1.5)?(12?1.5)]
mg?k(33?7)2T2?T1?W12 16ml(?22?3
习题10－8图
??0)?232mg?k(33?7)
B2mA2m??33mg?6k(33?7)ml2?O60mgo??02
?1.93O
?33?15?9.8?6?50(33?7)15?22rad/s
k?mg (a)
10－9 在图示机构中，已知：均质圆盘的质量为m 、半径为r，可沿水平面作纯滚动。刚性系数为k的弹簧一端固定于B，另一端与圆盘中心O相连。运动开始时，弹簧处于原长，此时圆盘角速度为?，试求：（1）圆盘向右运动到达最右位置时，弹簧的伸长量；（2）圆盘到达最右位置时的角加速度?及圆
B O r 盘与水平面间的摩擦力。
A?解：（1）设圆盘到达最右位置时，弹簧的伸长量为?，则T1?34mr?；T2?0；W12??34mr?222212k?
2A T2?T1?W12；???12k?；??23m2kr?
习题10－9图
（2）如图（a）：JA??FOr；JO??Fr
3212??FO O mg A FN F
mr??k23m2kr?；???km622k3m
mr??FA；FA?r?
10－10 在图示机构中，鼓轮B质量为m，内、外半径分别为r和R，对转轴O的回转半径为?，其上绕有细绳，一端吊一质量为m的物块A，另一端与质量为M、半径为r的均质圆轮C相连，斜面倾角为?，绳的倾斜段与斜面平行。试求：（1）鼓轮的角加速度?；（2）斜面的摩擦力及连接物块A的绳子的张力（表示为?的函数）。
B
（a）
— 20 —
r O R C A