解：（1）应用动能定理：T = W
T?12mvA?212JO?O?212MvC?212JC?C
?12Mr22其中：vAT?12?R?O；vC?r?O；?C??O；JO?m?2；JC2
(mR2?m??Mr2?1222Mr)?O
设物块A上升距离sA时：W?MgsCsin??mgsA 对动能定理的表达式求导：
[m(R??)?22FC C??C FT A a 32Mr]?O?O?Mgv222sin??mgv AF ?O??C???2g(Mrsin??mR)2m(R??)?3Mr?2
FN 12Mr?Mg
（a）
mg （b）
（2）如图（a）：JC??Fr；F如图（b）：ma?FT?mg；FT?m(g?R?)
10－11 匀质圆盘的质量为m1、半径为r，圆盘与处于水平位置的弹簧一端铰接且可绕固定轴O转动，以起吊重物A，如图所示。若重物A的质量为m2；弹簧刚度系数为k。试求系统的固有频率。
解：设弹簧上OB位于铅垂位置时为原长，则动能 T?
12m2v?21111v222(m1r)()?(m2?m1)v 22r24k2r(sd)2W?m2gs?T?W?m2gs?kd2r22s2
14m1)v122(12m2??m2gs?kd2r22s2
习题10－11图
ddt：(m212?m1)va?(m2g?kdr22kdr22s)v
(m2?m1)a?m2g?s
AkB.(m2?12m1)?s??kdr22s?m2g
rO?d?s??kd22r(2m2?m1)2kd22s?m2gm2?12m1
m1g?sv?n?2r(2m2?m1)
(a)
m2g
?n?dr2km1?2m2
10－12 图示圆盘质量为m、半径为r，在中心处与两根水平放置的弹簧固结，且在平面上作无滑动滚动。弹簧刚度系数均为k0。试求系统作微振动的固有频率。
解：设静止时弹簧的原长，则
v231122(mr)(0)?mv0
222r4k弹力功：W??2??x2
2动能T?1mv0?2 — 21 —
习题10－12图
ddt343232mv0??kx22
：
mv0a??2kxv0 ??2kx?0 mv0?x4k3m?
?? ?xx?0 4k3m ?n
10－13 测量机器功率的功率计，由胶带ACDB和一杠杆BOF组成，如图所示。胶带具有铅垂的两段AC和DB，并套住受试验机器和滑轮E的下半部，杠杆则以刀口搁在支点O上，借升高或降低支点Ｏ，可以变更胶带的拉力，同时变更胶带与滑轮间的摩擦力。在Ｆ处挂一重锤Ｐ，杠杆BF即可处于水平平衡位置。若用来平衡胶带拉力的重锤的质量m=3kg，Ｌ＝500mm，试求发动机的转速n=240r/min时发动机的功率。
解：设发动机的角速度为?。则
??2πn60??const?2π?24060?8π（rad/s）
习题10－13图
又 ，发动机作等速转动。 滑轮E的角加速度??0。 滑轮E受力分析如图（a）。 由 ?ME?0
得 M?(T1?T2)R?0
M?(T1?T2)R （1） 取杠杆为研究对象，受力如图（b）。 由 ?MO?0得
mgl?(T1??T2?)R?0
mgl?(T1??T2?)R （2） 且 T1??T1，T2??T2 （3） 综合（1）、（2）、（3）可得：
M?mgl ∴ 发动机的功率
P?M??mgl??3?9.8?0.50?8πBT1??T2T1T2MnFExDCEFOyFEyFOxF
O(a) Amg
(b)
10－14 在图示机构中，物体A质量为m1，放在光滑水平面上。均质圆盘C、B质量均为m，半径均为R，物块D质量为m2。不计绳的质量，设绳与滑轮之间无相对滑动，绳的AE段与水平面平行，系统由静止开始释放。试求物体D的加速度以及BC段绳的张力。
=0.369(kW)
解：（1）设物块D下降距离s时，速度为vD，则系统动能为：
T?12(m?m2)vD?vDR212JC?C?212JB?B?212m1vA
12mR22A E B 其中：?C?T?12；?B?122vDR；vA?2vD；JC?JB?2
C D 习题10－14图
(m?m2?m?2m?4m1)vD?172(m?4m1?m2)vD 22重力的功为：W?(m?m2)gs；
— 22 —
应用动能定理T?W并求导：
(72m?4m1?m2)vDaD?(m?m2)gvD
aD?2(m?m2)g7m?8m1?2m2 FT O 2FBC
C （2）如图（a），应用相对速度瞬心的动量矩定理：
JOaDR?(m?m2)gR?FBC2R；其中：JO?12(m?m2)g?(34m?12m2)?32mR?m2R
2mg D aD FBC?2(m?m2)g7m?8m1?2m2
m2g （a） ??(m?m2)(7m?8m1?2m2)g?(3m?2m2)(m?m2)g2(7m?8m1?2m2)2(m?m2)(m?2m1)g7m?8m1?2m2
10－15 图示机构中，物块A、B质量均为m，均质圆盘C、D质量均为2m，半径均为R。C轮
铰接于长为3R的无重悬臂梁CK上，D为动滑轮，绳与轮之间无相对滑动。系统由静止开始运动，试求（1）物块A上升的加速度；（2）HE段绳的张力；（3）固定端K处的约束力。
解：（1）设物块A上升距离s时，速度为vA，则系统动能为：
T?12(m?2m)vD?vAR212JD?D?212vA2JC?C?212mvA
K 22其中：?C?T?；?D?vA2R；vD?；JC?JD?mR
A C E H D B 1mmm322(???m?m)vA?mvA 24242s2?mgs?1212mgs； mgvaARa?A；A16g
重力的功为：W?(m?2m)g习题10－15图
应用动能定理T?W并求导：3mvAaA?FC C （2）如图（a），应用动量矩定理：JC其中：JC?122mR2?(FHE?mg)R
2mg FHE
aA D ?mR432?2mR
2FHE?2maA?mg?mg
mg （a）
FC′
FKx K FKy C 应用动量定理：maA?FC?3mg?FHE；FC?4.5mg
（3）如图（b），应用平衡方程：FKx?0
?F?M
y?0；FKy?FC??0；FKy?4.5mg
KMK (F)?0；MK?FC??3R?0；MK?13.5mgR
（b）
10－16 两个相同的滑轮，视为匀质圆盘，质量均为m，半径均为R，用绳缠绕连接，如图所示。如
系统由静止开始运动，试求动滑轮质心C的速度v与下降距离h的关系，并确定AB段绳子的张力。
解：1、先对O、C轮分别用动量矩定理和相对质心动量矩定理：
对O轮：JO?O?FTR （1）
— 23 —
习题10－16图
对C轮：JC?C?FT?R （2）
JO?JC， FT?FT? 由（1）、（2）： ?O??C??
?O??C?? （3） 2、再对整体用动能定理
T2?T1?W12
1222vC?ve?vr（动系为绳JO?O?2?O21JC?C?1mvC?mgh2 （4）
（5） （6）
?OORAAB）
mg?FTFTvC?ve?vr?R?O?R?C?2R?h（3）、（5）代入（4）得：
52mR?1R2?CC22?mgh?
110ghRB?C??2gh55R
mgaC（6）式两边对t求导：
5mR???mgvCvC
(a)
（5）代入，得：??2g5R
?2R??4g5?mg?FT
（5）式对t求导，得：aC轮心、质心运动定理：maC绳中张力：FT?
15mg
第11章 达朗贝尔原理及其应用
11－1 均质圆盘作定轴转动，其中图（a），图（c）的转动角速度为常数，而图（b），图（d）的角速度不为常量。试对图示四种情形进行惯性力的简化。
?????????≠?????????????≠????（a） （b） 习题11－1图
（c） （d）
FI O O FIn FIt ????????MIO ??O ??O ???≠??MIO ?≠????????
（a） （b） — 24 —
（c） （d） 习题11-1解图
解：设圆盘的质量为m，半径为r，则如习题11-1解图：
（a）FI?mr?2，MIO?0
（b）FIn?mr?2，FIt?mr?，MIO?JO?? （c）FI?0，MIO?0 （d）FI?0，MIO?JO??
11－2矩形均质平板尺寸如图，质量27kg，由两个销子 A、B悬挂。若突然撤去销子B，求在撤去的瞬时平板的角加 速度和销子A的约束力。
C A B 0.15m
32mr?
212mr?
2解：如图（a）：设平板的质量为m，长和宽分别为a、b。 FI?m??AC?3.375?
MIA0.20m 习题11－2图
?JA??[A112m(a?b)?m?AC]??0.5625?
2222FAy 35FAx?3.375?47.04?0.6?95.26N
C aC ??mg ???Fy?0；FIcos??FAy?mg?0；sin??4?0.8
50.20m （a）
11－3在均质直角构件ABC中，AB、BC两部分的质量各为3.0kg，用连杆AD、DE以及绳子AE保持在图示位置。若突然剪断绳子，求此瞬时连杆AD、BE所受的力。连杆的质量忽略不计，已知l = 1.0m，φ = 30o。 C FAy?27?9.8?3.375?47.04?0.8?137.6N
解：如图（a）：设AB、BC两部分的质量各为m = 3.0kg。 直角构件ABC作平移，其加速度为a = aA，质心在O处。
FI?2ma
l B φ φ E
习题11－3图
?M?FO(F)?0；
l4?FAcos?3l4?(FA?FB)sin?l4?0 （1）
A FBcos?ADD ?0；
FA?FB?2mgcos??0 （2） C 3l/4
3l/4 O A aA FA FI
联立式（1）和式（2），得：FB?mg?3FA
FA?14(3?1)mg?5.38N；
FB?mg?3?5.38?45.5N
11－4 两种情形的定滑轮质量均为m，半径均为 r。图a中的绳所受拉力为W；图b中块重力为W。
试分析两种情形下定滑轮的角加速度、绳中拉力和定滑轮轴承处的约束反力是否相同。
B FB 2mg φ φ FOy FOx MIO ? （a）F Oy bFOx
?a
解：1、图（a）：
① JO?a?Wr
— 25 —
l 0.15m FI a W
?M?F(F)?0；MIA?0.1mg?0；??47.04rad/s
?0.6FI B MIA FAx A x?0；FIsin??FAx?0；其中：sin??
习题11-4图