§2.1.1 指数与指数幂的运算（1）
学习目标 1. 了解指数函数模型背景及实用性、必要性； 2. 了解根式的概念及表示方法； 3. 理解根式的运算性质. 学习过程 一、课前准备 （预习教材P48~ P50，找出疑惑之处）
复习1：正方形面积公式为 ；正方体的体积公式为 .
复习2：（初中根式的概念）如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的 ，记作 ； 如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的 ，记作 .
二、新课导学 ※ 学习探究
探究任务一：指数函数模型应用背景
探究下面实例及问题，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数函数的必要性.
实例1. 某市人口平均年增长率为1.25℅，1990年人口数为a万，则x年后人口数为多少万？
实例2. 给一张报纸，先实验最多可折多少次？你能超过8次吗？
计算：若报纸长50cm，宽34cm，厚0.01mm，进行对折x次后，求对折后的面积与厚度？
问题1：国务院发展研究中心在2000年分析，我国未来20年GDP（国内生产总值）年平均增长率达7.3℅， 则x年后GDP为2000年的多少倍？
1 问题2：生物死亡后，体内碳14每过5730年衰减一半（半衰期），则死亡t年后体内碳14的含量P
t15730与死亡时碳14关系为P?(). 探究该式意义？
2
小结：实践中存在着许多指数函数的应用模型，如人口问题、银行存款、生物变化、自然科学.
探究任务二：根式的概念及运算
考察： (?2)2?4，那么?2就叫4的 ；
33?27，那么3就叫27的 ； (?3)4?81，那么?3就叫做81的 . 依此类推，若xn?a,，那么x叫做a的 .
新知：一般地，若xn?a,那么x叫做a的n次方根 ( n th root )，其中n?1,n???.
简记：na. 例如：23?8，则38?2.
反思：
当n为奇数时, n次方根情况如何？ 例如：327?3，3?27??3, 记：x?na.
当n为偶数时，正数的n次方根情况？
例如：81的4次方根就是 ，记：?na.
强调：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，即n0?0.
试试：b4?a，则a的4次方根为 ；
b3?a，则a的3次方根为 .
新知：像na的式子就叫做根式（radical），这里n叫做根指数（radical exponent），a叫做被开方数（radicand）.
试试：计算(23)2、343、n(?2)n.
反思：
从特殊到一般，(na)n、nan的意义及结果？
结论：(na)n?a. 当n是奇数时，nan?a；当n是?a(a?0)偶数时，nan?|a|??. ?a(a?0)? ※ 典型例题 例1求下类各式的值： 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 4(?3)4的值是（ ）. （1） 3(?a)； （2） 34(?7)； 4（3）6(3??)6； （4） 2(a?b)2（a?b）. 变式：计算或化简下列各式. （1）5?32； （2）3a6. 推广：amp?nam （a?0）. ※ 动手试试 练1. 化简5?26?7?43?6?42. 练2. 化简23?31.5?612. 三、总结提升 ※ 学习小结 1. n次方根，根式的概念； 2. 根式运算性质. ※ 知识拓展 1. 整数指数幂满足不等性质：若a?0，则an?0. 2. 正整数指数幂满足不等性质： ① 若a?1，则an?1； ② 若0?a?1，则0?an?1. 其中n?N*.
npA. 3 B. －3 C. ?3 D. 81 2. 625的4次方根是（ ）. A. 5 B. －5 C. ±5 D. 25 3. 化简(2?b)2是（ ）. A. ?b B. b C. ?b D. 4. 化简6(a?b)6= . 5. 计算：(3?5)3= ；234 . 1 b 课后作业 1. 计算：（1）5a10； （2） 379. 2. 计算a3?a?4和a3?(?8)，它们之间有什么关系？ 你能得到什么结论？ anannnn3. 对比(ab)?ab与()?n，你能把后者归入bb前者吗？ 2
§2.1.1 指数与指数幂的运算（2）
学习目标 1. 理解分数指数幂的概念；
2. 掌握根式与分数指数幂的互化； 3. 掌握有理数指数幂的运算. 学习过程 一、课前准备 ar·ar?ar?s； (ar)s?ars； (ab)r?aras． （预习教材P50~ P53，找出疑惑之处）
复习1：一般地，若xn?a，则x叫做a的 ，
※ 典型例题 其中n?1,n???. 简记为： . 24?25?2像na的式子就叫做 ，具有如下例1 求值：273；163； (3)?3；()3.
495运算性质：
npnna= ；amp= . (na)n= ；
复习2：整数指数幂的运算性质.
（1）aman? ；（2）(am)n? ；
（3）(ab)n? . 变式：化为根式. 二、新课导学
※ 学习探究
探究任务：分数指数幂
1051025255 引例：a>0时，a?(a)?a?a，
则类似可得 3a12? ；
22 3 3a2?(a3)3?a3 ，类似可得a? . 新知：规定分数指数幂如下 例2 用分数指数幂的形式表示下列各式(b?0)： a?nam(a?0,m,n?N*,n?1)；
mn① 0的正分数指数幂为 ；0的负分数指数幂为 .
② 分数指数幂有什么运算性质？
小结：
规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．
指数幂的运算性质： （a?0,b?0,r,s?Q）
a?mn?1amn?1nam(a?0,m,n?N*,n?1).
试试：
（1）将下列根式写成分数指数幂形式：
235= ；
354= ；
（1）b2b； （2）b35b3； （3）3b4b.
例3 计算（式中字母均正）： （1）(3ab)(?8ab)?(?6ab)； （2）(mn).
小结：例2，运算性质的运用；例3，单项式运算. 例4 计算：
231212131656143816
am= (a?0,m?N?).
2325?43?52（2）求值：8； 5； 6； a
反思：
3 .
（1）a3a3a4? (a?0)；
12（2）(2mn)?(?mn?3)6 (m,n?N?)； （3）(416?332)?464.
小结：在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则.
反思：
① 32的结果？
结论：无理指数幂.（结合教材P53利用逼近的思想理解无理指数幂意义）
② 无理数指数幂a?(a?0,?是无理数)是一个确定的实数．实数指数幂的运算性质如何？
※ 动手试试
23510※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 若a?0，且m,n为整数，则下列各式中正确的是（ ）.
A. a?a?a B. am?an?amn C. ?am??am?n D. 1?an?a0?n
n32mnmn2. 化简25的结果是（ ）.
A. 5 B. 15 C. 25 D. 125 3. 计算??2???的结果是（ ）.
??22A．2 B．?2 Ｃ． D．?
22?23???2?124. 化简27m= . n3m?n25. 若10?2,10?4，则10 = .
课后作业 1. 化简下列各式： 363a22（1）()； （2）49b
3b3a. 3ab?1练1. 把?x3??
3?x?化成分数指数幂. ???2?85练2. 计算：（1）3343438a27； （2）6()4. 3125b
三、总结提升 ※ 学习小结
①分数指数幂的意义；②分数指数幂与根式的互化；③有理指数幂的运算性质.
※ 知识拓展
放射性元素衰变的数学模型为：m?m0e??t，其中t表示经过的时间，m0表示初始质量，衰减后的质量为m，?为正的常数.
2. 计算：
?b?3. ??1?2???32343aa?2ab?4a??a4?83ab 学习评价
§2.1.1 指数与指数幂的运算（练习）
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学习目标 1. 掌握n次方根的求解； 2. 会用分数指数幂表示根式； 3. 掌握根式与分数指数幂的运算. 例如，6(?8)2?3?8. 变式：已知a?a12?1212?12?3，求： 32?32（1）a?a； （2）a?a. 学习过程 一、课前准备 （复习教材P48~ P53，找出疑惑之处） 复习1：什么叫做根式? 运算性质？ 像na的式子就叫做 ，具有性质： npnna= ；amp= . (na)n= ； 复习2：分数指数幂如何定义？运算性质？ mm ?nn? . ① a? ；a * 其中a?0,m,n?N,n?1 ②aras? ； (ar)s? ； s(ab)? . 复习3：填空. (x?0)?nn① n为 时，x?|x|??............ 1(x?0)例2从盛满1升纯酒精的容器中倒出升，然后用?3② 求下列各式的值： 1水填满，再倒出升，又用水填满，这样进行5次，3664 2= ； 16= ；81= ； 32156则容器中剩下的纯酒精的升数为多少？ (?2)= ； ?32= ； 4x8= ；6a2b4= . 二、新课导学 ※ 典型例题 11 ?22例1 已知a?a=3，求下列各式的值： 33 ?22a?a（1）a?a?1； （2）a2?a?2； （3）1． 1? a2?a2变式：n次后？ 补充：立方和差公式a3?b3?(a?b)(a2ab?b2). 小结：① 方法：摘要→审题；探究 → 结论； ② 解应用问题四步曲：审题→建模→解答→作答. ※ 动手试试 小结：① 平方法；② 乘法公式； 1111npmpnm224练1. 化简：(x?y)?(x?y4). ③ 根式的基本性质a?a（a≥0）等. 注意， a≥0十分重要，无此条件则公式不成立. 5