2011年中考数学压轴题强化训练120题
１. 如图，在平面直角坐标系中，直线
1y??x?b(b?0)分别交x轴、y轴于A、B两点．点C(4，0)、D(8，0)，以CD为
2一边在x轴上方作矩形CDEF，且CF:CD?1:2．设矩形CDEF与△ABO重叠部分的面积为S． （1）求点E、F的坐标；
（2）当b值由小到大变化时，求S与b的函数关系式； y1∠OQC等于90?，请（3）若在直线y??x?b(b?0)上存在点Q，使
2EFB直接写出b的取值范围． ．．
DOCAx２．已知抛物线
2y??x2?bx?c与
3x轴交于不同的两点
A?x1，0?和
． B?x2，0?，与y轴交于点C，且x1，x2是方程x2?2x?3?0的两个根（x1?x2）
（1）求抛物线的解析式；（2）过点A作AD∥CB交抛物线于点D，求四边形ACBD的面积；
（3）如果P是线段AC上的一个动点（不与点A、C重合），过点P作平行于x轴的直线l交BC于点Q，那么在x轴上是否存在点R，使得△PQR为等腰直角三角形？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线
BC上一点，联结AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形
ADEF．（1）如果
AB?AC，∠BAC?90?，
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为 __________ ，线段CF、BD的数量关系为 ；
②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由； FE
A F B D 图2 A F C C
B 图3
不重合），
A B D
C E 图1
E D （2）如果
AB?AC，∠BAC是锐角， 点D在线段BC上，当?ACB满足什么条件时，CF?BC（点C、F并说明理由．
4．把两个三角形按如图1放置，其中∠ACB?∠DEC?90?，∠A?45?，∠D?30?，且AB?6，DC?7．把△DCE绕点C
顺时针旋转15°得到△D1CE1，如图2，这时AB与CD1相交于点O，与D1E1相交于点F．
CD（1）求∠A（2）求线段1的度数；
AD1的长；（3）若把△D1CE1
绕点C顺时针再旋转30°得到
△D2CE2，这时点B在△D2CE2的内部、外部、还是边上？请说 A C
D
A O D1
明理由．
BFOECDAC E B 图1
图2
F B E1
5．如图，点D是⊙O直径CA的延长线上一点，点B在⊙O上，且AB＝AD＝AO．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若点E是劣弧BC上一点，弦AE与BC相交 于点F，且CF＝9，cos∠BFA＝
６．某地一居民楼,窗户朝南,此地一年中的冬至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最小为α,夏至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最大为β.小明想为自己家的窗户设计一个圆弧形遮阳蓬ECD,小明查阅了有关资料,获得了所在地区∠α和∠β的相应数据;∠α=24°,∠β=73°,小明又量得窗户的高AB=1.65米，圆弧形的圆心刚好是B点.若同时满足下列两个条件,(1)当太阳光与地面的夹角为α时,要想使太阳光刚好全部射入室内;(2) 当太阳光与地面的夹角为β时,要想使太阳光刚好不射入室内.请你借助下面的图形帮助小明算一算, 遮阳蓬ECD中与墙BE垂直的支杆CD的长是多少?若要固定遮阳蓬ECD ，固定点E点应在什么位置？(精确到0.01米)
23，求EF的长．
E C B y D
P Q A -1 O 1 -1 1 B x A ７．如图，抛物线y=－
12x2+
12x+3交x轴于点A、B两点，直线y=
1ax－2 (a≠0)交x轴于点Q.
（1）求证：不论a取何实数（a≠0）抛物线与直线总有两个交点；（2）写出点A、B的坐标，并用含a的代数式表示点Q的坐标；试确定当a在什么范围内取值时，直线与抛物线在第一象限内有交点；（3）设直线与抛物线在第一象限内的交点为P，是否存在这样的点P，使得∠APB为直角？若存在，求出此时a的值；不存在，请说明理由.
8．某高新技术开发公司，用480万元购得某种产品的生产技术后，并进一步投入资金1520万元购买生产设备，进行该产品的生产加工，已知生产这种产品每件还需成本费40元.经过市场调研发现：该产品的销售单价，需定在100元到300元之间较为合理.当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；当销售单价超过100元，但不超过200元时，每件新产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少0.8万件；当销售单价超过200元，但不超过300元时，每件产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少1万件.设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利为w（万元）.（年获利=年销售额—生产成本—投资成本） （1）直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）求第一年的年获利w与x间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最少亏损是多少？
（3）若该公司希望到第二年底，除去第一年的最大盈利（或最小亏损）后，两年的总盈利不低于1842元，请你确定此时销售单价的范围.在此情况下，要使产品销售量最大，销售单价应定为多少元？
9．如图,正方形ABCD的长为1, 点E是AD边上的动点且从点A沿AD向D运动, 以BE为边,在BE的上方作正方形BEFG,为DC与EF的交点,请探索:
(1)连接CG,线段AE与CG是否相等? 请说明理由.
(2)设AE=x, CG=y, 请确定y与x的函数关系式并说明自变量的取值范围.
(3)连接BH, 当点E运动到边AD上的某一点时将有△BEH∽△BAE,请你指出这一点的位置,并说明理由.
ABEDHCGF
10．某商场设计了两种促销方案：第一种是顾客在商场消费每满200元就可以从一个装有100个完全相同的球(球上分别标有数字1，2，??100)的箱子中随机摸出一个球(摸后放回)。若球上的数字是88，则返购物券500元；若球上的数字是11或77，则返购物券300元；若球上的数字能被5整除，则返购物券5元；若是其它数字，则不返购物券。第二种是顾客在商场消费每满200元直接获得购物券15元。估计促销期间将有5000人次参加活动。请你通过计算说明商家选择哪种促销方案合算些？
11．．我们给出如下定义：如果四边形中一对顶点到另一对顶点所连对角线的距离相等，则把这对顶点叫做这个
四边形的一对等高点.例如：如图1,平行四边形ABCD 中，可证点A、C到BD的距离相等，所以点A、C是 平行四边形ABCD的一对等高点，同理可知点B、D
也是平行四边形ABCD的一对等高点.
（1）如图2，已知平行四边形ABCD, 请你在图2中画出一个只有一对等高点的四
边形ABCE（要求：画出必要的辅助线）；
（2）已知P是四边形ABCD对角线BD上任意一点（不与B、D点重合），请分别
探究图3、图4中S1, S2, S3, S4四者之间的等量关系(S1, S2, S3, S4分别表示△ABP, △CBP, △CDP, △ADP的面积)：
① 如图3，当四边形ABCD只有一对等高点A、C时，你得到的一个结论是 ； ② 如图4，当四边形ABCD没有等高点时，你得到的一个结论是 .
A
AD
AADB
BS1S2P图1
C
S4S3S1DBPS4S3DS2CBCC 图2 图3 图4
12．已知: 关于x的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数，二次函数y=ax2-bx+kc
（c≠0）的图象与x轴一个交点的横坐标为1.
(kc)2?b2?ab （1）若方程①的根为正整数，求整数k的值； （2）求代数式的值；
akc（3）求证: 关于x的一元二次方程ax2-bx+c=0 ②必有两个不相等的实数根. 13．在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东、小明交流.
原问题：如图1，已知△ABC, ∠ACB=90? , ∠ABC=45?，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE, 且DA=DB, EB=EC，∠ADB=∠BEC=90?，连接DE交AB于点F. 探究线段DF与EF的数量关系.
小慧同学的思路是：过点D作DG⊥AB于G,构造全等三角形，通过推理使问题得解. 小东同学说:我做过一道类似的题目,不同的是∠ABC=30?,∠ADB=∠BEC=60?. 小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况. 请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：
（1）写出原问题中DF与EF的数量关系；（2）如图2，若∠ABC=30?，∠ADB=∠BEC=60?，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；
（3）如图3，若∠ADB=∠BEC=2∠ABC, 原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明.
CEAFBACEFBFACEBDDD图1 图2 图3
14．已知抛物线经过点 A (0, 4)、B(1, 4)、C (3, 2)，与x轴正半轴交于点D. （1）求此抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）在x轴上求一点E, 使得△BCE是以BC为底边的等腰三角形；
（3）在（2）的条件下，过线段ED上动点P作直线PF//BC, 与BE、CE分别交于 点F、G，将△EFG沿FG翻折得到△E?FG. 设P（x, 0）, △E?FG与四边形FGCB 重叠部分的面积为S，求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围.
-5-4-3-2-1y54321ABCO1-1-22345x15．如图， 已知等边三角形ABC中，点D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时， △DMN也随之整体移动）．
（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你连结EN，并判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？请写出结论，并说明理由；
（2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立? 若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，若点M在点C右侧时，请你判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立? 若成立,请直接写出结论；若不成立，请说明理由．A
ADBNMFCBN D B M F AE EDEE M C FCN 1） （第１5题图2） （第１5题图3） （第１5题图
16．对于三个数a、b、c，M如：M?a,b,c?表示a,b,c这三个数的平均数，min?a,b,c?表示a、b、c这三个数中最小的数，
??1,2,3???1?2?34?，min??1,2,3???1；
33??1?2?aa?1?a?a??1?M??1,2,a???，min??1,2,a???． 33???1?a??1?解决下列问题： （1）填空：
min?sin30?,cos?45,tan?? ?30；若
min?2,2x?2,?4x2??，2则x的取值范围
是 ； （2）①若M?2,x?1,2x??min?2,x?1,2x?，那么x＝ ；
（填a,b,c大小关系）； ?a,b,c??min?a,b,c?，那么 ”
②根据①，你发现结论“若M③运用②，填空：若＝ ；
M?2x?y?2,x?2y,2?x?y??min?x2?y2?x,?y 则2，?,x2xy?y（3）在同一直角坐标系中作出函数
y?x?1，y??x?1?2，
，通过图象，得出y?2?x的图象（不需列表，描点）
minx?1,?x?1?,2?x?2?最大值为 ．
（第16题图）
17．某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：
进价（元/件） 售价（元/件） （注：获利 = 售价 — 进价）
（1）该商场购进A、B两种商品各多少件；
（2）商场第二次以原进价购进A、B两种商品．购进B种商品的件数不变，而购进A种商品的件数是第一次的2倍，A种商品按原
售价出售，而B种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于81600元，B种商品最低售价为每件多少元？
18． 如图，矩形OABC的边OC、OA分别与x轴、
沿OD将△OAD翻折，点A落在点P处． （1）若点P在一次函数
A 1200 1380 B 1000 1200 y4321y x -4-3-2-1O-112345xy轴重合，点B的坐标是(3,1)，点D是AB边上一个动点（与点A不重合），
y?2x?1的图象上，求点P的坐标；
（2）若点P在抛物线
y?ax2图象上，并满足△PCB是等腰三角形，求该抛物线解析式；
（3）当线段OD与PC所在直线垂直时，在PC所在直线上作出一点M，使DM+BM最小，并求出这个最小值．
yADPxOCOCxOCxByAByAB
（第１９题图） （第１９题备用图1） （第１９题备用图2）
19．如图，⊙O的直径
线交
AB=6cm，点P是AB延长线上的动点，过点P作⊙O的切线，切点为C，连结AC．若?CPA的平分
，你认为∠CMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠CMP的度数．
AC于点MAC M A O B P ECDO 20题图
B19题图