【解答】证明：（1）连接MN，∵M，N分别是EC，BE的中点， ∴MN∥CB，且MN=
，又AF=3FD，∴FD=
，∴MN=FD，
又CB∥DA，∴MN∥DA，即，MN∥FD，∴四边形MNFD为平行四边形，…（3分）
∴FN∥MD，又FN?平面MBD，MD?平面MBD， ∴FN∥平面MBD．……（6分）
解：（Ⅱ）连接AN，则AN⊥BE，DA⊥AN，MN∥DA，∴AN⊥面EBC， 又在△ABC中，AN=S△MBC=
，……（8分） =
，
．……（12分）
∴三棱锥M﹣ABC的体积VM﹣ABC=VA﹣MBC=
【点评】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．
19．（12.00分）共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注．某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了50人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这50人根据其满意度评分值（百分制）按照[50，60），[60，70），…，[90，100]分成5组，请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： 频率分布表 组别
分组 频数 频率 第21页（共27页）
第1组 [50，60） 第2组 [60，70） 第3组 [70，80） 第4组 [80，90） 第5组 [90，100] 合计 8 a 20 0.16 0.40 0.08 b 2 （1）求出a，b，x，y的值；
（2）若在满意度评分值为[80，100]的人中随机抽取2人进行座谈，求2人中至少一人来自第5组的概率．
【分析】（1）利用频率分布表和频率分布直方图的性质直接求解．
（2）第4组共有4人，第5组共有2人，设第4组的4人分别为a1，a2，a3，a4，第5组的2人分别为b1，b2，从中任取2人，利用列举法能求出所抽取2人中至少一人来自第5组的概率． 【解答】解：（1）由题意可知，∴[80，90）内的频数为2×
=0.04； =4，
∵样本容量n=50，∴a=50﹣8﹣20﹣4﹣2=16， 又[60，70）内的频率为
=0.32，∴x=
=0.032，
=0.004．……（4分）
∵[90，100]内的频率为0.04，∴y=
（2）由题意可知，第4组共有4人，第5组共有2人，
第22页（共27页）
设第4组的4人分别为a1，a2，a3，a4，第5组的2人分别为b1，b2， 则从中任取2人，所有基本事件为：
（a1，a2）、（a1，a3）、（a1，a4）、（a1，b1）、（a1，b2）、（a2，a3）、（a2，a4）、（a2，b1）、
（a2，b2）、（a3，a4）、（a3，b1）、（a3，b2）、（a4，b1）、（a4，b2）、（b1，b2），共15个．……（7分）
又至少一人来自第5组的基本事件有：
（a1，b1）、（a1，b2）、（a4，b1）、（a4，b2）、（b1，b2）、（a2，b2）、（a3，b1）、（a3，b2）、（a2，b1）共9个，…．（9分） ∴P=
=．
．…（12分）
故所抽取2人中至少一人来自第5组的概率为
【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
20．（12.00分）已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的焦距为2
，且C与y轴
交于A（0，﹣1），B（0，1）两点． （1）求椭圆C的标准方程；
（2）设P点是椭圆C上的一个动点且在y轴的右侧，直线PA，PB与直线x=3交于M，N两点．若以MN为直径的圆与x轴交于E，F两点，求P点横坐标的取值范围．
【分析】（1）由题意可得，b=1，c=得到椭圆方程；
（2）设P（x0，y0）（0＜x0≤2），A（0，﹣1），B（0，1），求出直线PA，PB的方程，与直线x=3的交点M，N，可得MN的中点，圆的方程，令y=0，求得与x轴的交点坐标，即可求出范围
【解答】解：（1）由题意可得，b=1，c=∴a2=c2+b2=4，
，
，再由a，b，c的关系，解得a=2，进而
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∴椭圆C的标准方程为
+y2=1．
（2）设P（x0，y0）（0＜x0≤2），A（0，﹣1），B（0，1）， ∴kPA=
，直线PA的方程为y=
x﹣1，
同理得直线PB的方程为y=x+1，
直线PA与直线x=3的交点为M（3，﹣1），
直PB与直线x=3的交点为N（3，+1），
线段MN的中点（3，），
∴圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣
）2=（1﹣）2，
令y=0，则（x﹣3）2+（
）2=（1﹣）2，
∵
+y02=1，
﹣
，
∴（x﹣3）2=
∵这个圆与x轴相交，∵该方程有两个不同的实数解， 则
﹣
＞0，又0＜x0≤2，解得
＜x0≤2
故P点横坐标的取值范围为（，2]．
【点评】本题考查椭圆的方程的求法，基本量的关系，考查直线和圆相交的弦长问题，注意运用圆的方程，以及直线和圆相交的条件，考查化简整理的运算能力，属于难题．
21．（12.00分）已知函数g（x）=ax﹣a﹣lnx，f（x）=xg（x），且g（x）≥0． （1）求实数a的值；
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（2）证明：存在x0，f′（x0）=0且0＜x0＜1时，f（x）≤f（x0）． 【分析】（1）由题意知g（x）的定义域为（0，+∞），
（x）≥0且g（1）=0，故只需g′（1）=0．从而a=1．当a=1，则
，x＞0．由g
．g
（x）在（1，+∞）上单调递增．x=1是g（x）的唯一极小值点，由此能求出a的值．
（2）（fx）=x2﹣x﹣xlnx，f′（x）=2x﹣2﹣lnx．设h（x）=2x﹣2﹣lnx，则
．利
用导数性质推导出x=x0是f（x）在（0，1）的最大值点，由此能证明存在x0，f′（x0）=0且0＜x0＜1时，f（x）≤f（x0）．
【解答】解：（1）由题意知（gx）的定义域为（0，+∞），而对（gx）求导得x＞0．
因为g（x）≥0且g（1）=0，故只需g′（1）=0．
又g′（1）=a﹣1，所以a﹣1=0，得a=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分） 若a=1，则单调递减；
当x＞1，g′（x）＞0，此时g（x）在（1，+∞）上单调递增． 所以x=1是g（x）的唯一极小值点，故g（x）≥g（1）=0．
综上，所求a的值为1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）
证明：（2）由（1）知f（x）=x2﹣x﹣xlnx，f′（x）=2x﹣2﹣lnx．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）
设h（x）=2x﹣2﹣lnx，则
．
） 时，h′（x）＞0，
．当0＜x＜1时，g′（x）＜0，此时g（x）在（0，1）上
，
当x∈（0，） 时，h′（x）＜0；当x∈（
所以h（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
又h（e﹣2）＞0，h（）＜0，h（1）=0，所以h（x）在（0，）有唯一零点x0，
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