证明 (见相关知识 注1) 注1
定理 1 共轭类 中置换的数目为：
证明 设 ，将 分解为互不相交的循环的乘积：
将 中的 个点任意排列而保留各循环之间的括号线变，一共
有 个置换，它包括了 有二个，其一如果 中有 个 循环改变了乘积顺序，即变为
中的所有置换，但其间有重复的置换，原因循环
，这里
，它们实质上是相同的，于是每个置换在排列下
，而排列后的置换只是将其
可产生 与有 个
个相同的置换；其二设 有一个 ，
，
循环 ，它
实质上是相同的循环，若 中
循环，则有 个实质相同的循环，这种情形中每个置换在排列中产
生
个相同的置换．从 个置换中去掉这些重复，就得到定理 1 的结论．
作为例子，下表给出了对称群 的共轭类和分划的情况：
分划 1+1+1+1+1 1+1+1+2 1+1+3 1+4 5 1+2+2 2+3
共轭类中的一个置换 §2 Burnside 引理与置换群的循环指标 设 是集 上的置换群，点
使得
，记为
称为“等价”，当且仅当存在置换
. 这种等价关系下的等价类称之为 的轨道，
它是集 的一个子集．
在 的作用下，集合 为 的全部轨道的不交并．事实上，如果存在一点 ，它在含有点 的轨道 对于任意的
，这样
内，同时也在含有点 的轨道
，使得
，即
，因为
内，即
，而
，，故
，则存在 ；同理可证
．换言之 的任意两个
不同的轨道的交是空集，所以置换群 的轨道是集合 上的一个划分．
例如 设 是集 上的置换群，这
里 表示恒等置换（ 中的每个 1-循环省略了），依据轨道的定义，立即可得
;
设点 ， 是 上置换群，集合
为点 的稳定子群．
，易证 是
的一个子群，称
设 ，则
，有：
．事实上因为 ，存在置换 ，使得 ，从而有
，对任意的
，即
；同理可证，故有 ．
关于 ， 和 三者之间的关系：
由轨道的定义，则
，即
．对任意的
，从而
，若 ，
，这说明轨道 中有多少个不，亦即
同的点,就对应着多少个
．
在 中的左陪集，即
定理 2（Burnside 引理） 置换群 作用在点集 上的轨道数目 等于 中平均每个置换 所稳定的点的个数．（ 所稳定的点的个数就是 的 1-循环的数目．）
设置换 稳定的点的数目为 ，Burnside 引理可表示为：
证明 (见相关知识 注2) 设 是抽象群， 是一集合，
，
，对应着 上的置换 ，且满足
设集合 ，则 是集合 上的置换群．这是因为设映射 对任意的
有：
是 的同态像，
， 从而 是同态映射，
故
是置换群．
推论 1 是抽象群， 是集合 上的置换群，且为 的同态像， 则 作用在集合 上的轨道数目为：
这里 是元素 的同态像． 证明 (见相关知识 注3)
设 是点集 上的置换群，（有非负系数的多项式，对每个置换
），已知一个关于 ，如果
的具
共轭类，那么此
置换对应单项式 和得：
对置换群 的每个置换 所对应的单项式求
称此多项式为置换群 的循环指标（circle index）多项式．
例如 假若置换群 是仅有一个恒等置换的单元群，那么这个恒等置换属于共轭类
，故 的循环指标多项式为：
由此可知 的循环指标不仅依赖于抽象群 的结构，同时也依赖于 的每个元素（点集 上的置换）的构成． 下面给出了对称群
的循环指标多项式：
,
对称群 的循环指标 的母函数为：