种不同的着色．
例 7 用 种颜色独立地给一立方体的六个面着色，有多少种本质不同的着色？
解 由例 3 知立方体面上的置换群的循环指标多项式为：
从而有：
种本质不同的着色．
上面我们用置换群的循环指标多项式解决了一类独立着色的计数问题．下面看几个非独立着色的计数问题．
例 8 立方体的六个面同时用六种不同的颜色着色，有多少种不同的着色？（每面只着一色，任意两面的颜色不同．）
解 类似于例 5 的第一种解法，取集 为立方体的全部可能的着色，
，立方体的旋转群对应于 上的置换群 ，
换稳定“点”的个数：
，求 中的每个置
设 是 中的恒等置换，故 ；设 ，因为
立方体的六面中任意两面着色不同，故 ，由 Burnside 引理得：
这 30 种着色可直接构造出来．设 ， 为六种颜色中的二种， 与 二色只有两种本质不同的位置，相邻或相对面．若 与 色两相邻，剩下四面有 种着色方法，由于 与 面是固定的，这
种着色相互是本质不同的；若
与 是相对面，再取一面着 色，剩下三面有种着色，由于 ， 和三面是固定的，这 种着色也是本质不同的，故有
种本质不同的着色．
例 9 立方体上三面着黑色，三面着白色，有多少种不同的着色？
图 3
解 类似于例 5 的第二种解法，取 为全部可能着色集，取
为六个面的标号集
（见图 3）， 和
，
是立方体的旋转
群对应于集 和 类进行讨论．
上的的置换群，类似于例 3 ，将立方体旋转分为
）只有恒等置换，故它在集 的稳定点的个数是 ；
）有 个置换，在 中，其中一置换可表示为 ，求其对应
于 中的置换在 中的稳定点的个数．由于稳定点的着色满足： 与 同色， 与 同色（在同一循环内的着色相同）；同时满足三面黑色，三面白色，满足上述条件的着色有 个，故此类置换在 中的稳定点个数为
；
）有 个置换，其中一置换可表为 ，由于 必须满足
着同色，而题目中要求同色的面数为 ，故此类置换在 中无稳定点；
）有 个置换，其中一置换可表为 无稳定点；
，同理可知此类置换在 中
）有 个置换，其中一置换可表示为 ，求其对应于 中的置换
．
在 中的稳定点的个数为 ．故此类置换在 中的稳定点个数为 由 Burnside 引理，本质不同的着色的数目为：
由此例可知非独立着色要比独立着色的计数问题复杂，在第十二讲中，这类计数问题会得到圆满的解决．
例 10 三颗黑珠和六颗白珠穿成一个项链（见图 4），问可以构成多少种不同的项链？
图 4
解 首先要计算 能的排列，
个数的圆形排列的旋转群 ．取 集为全部可，取集
，设
和
是旋转群 对
应的在集 和 上的置换群，且置换相对应地求出中置换
．我们的目的是利用 中的
在 中的稳定点的个数，从而求出 在 上的
轨道数目——不同项链的数目．将它们的对应关系列表如下：
旋转群 的元素 元素个数 对应于 中的置换 对应于 中的置换在 中的稳定点的个数（总个数） 恒等旋转 过点 和圆心的轴 的反射旋转 的旋转 的旋转 的旋转 的旋转 共计 由 Burnside 引理有 即可构造出 种不同的项链．
例 11 一个笨环（见图 5）上可以加上或以构成化合物，问可构造出多少种本质不同的化合物？
图 5
解 在 位置上即可放元素 也可放元素 （这类似于独立着
，取
，设
色问题）．取 集为全部可构造的化合物，和
是旋转群 对应于集 和 上的置换群，将它们的关系列表如下
旋转群 的元素 元素个数 对应于 中的置换 对应于 中的置换在 中的稳定点的个数（总个数） 恒等旋转 以 为轴的反射旋转 以 为轴的反射旋转 的旋转 的旋转 旋转 共计 §4 Ploya 定理及其应用
设 是有限集, 有限赋权集, 为 上的置换群. 由 可确定
总元素的等价关系“”, 由“”, 集合
可分解为若干互
.