结论：两个置换群的直积的循环指标多项式等于各置换群的循环指标多项式的乘积．
例 4 4 次交错群
求
的轨道数目．
解 稳定点 1 的稳定子群为：
，
同样稳定点的稳定子群为：
，
由 Burnside 引理知轨道数目 .
的轨道就是点集 递”置换群．
§3 Burnside 引理的应用
具有这种性质的置换群被称为“可迁”或“传
对于 Burnside 引理，读者可能感到比较抽象，下面举几个实际例子，帮助读者了解 Burnside 引理的应用．
例 5 在二维平面内有图形：方格着色，一共
，用“白色”与“花色”独立的给这四个
有种着色方法，问其中有多少种“本质”不同的着色？
这里的“本质”相同着色的意义是指由一种着色图形经适当旋转可得的另一种着色图形．例如下面四种着色：
是本质上相同的着色． 在二维空间中旋转 ，全部可能的着色，即分别为
，
和
，它们构成 4 阶旋转群．取集为
，这样每个旋转产生 集上的一个循环，设它们，它们构成 上的置换群 ．显然在同一轨道上的任
意两种着色是本质相同的着色，本质不同的着色数目就等于 在集 上的轨道数目，由 Burnside 引理，需要求每个置换的 1-循环的数目．（ Burnside 引理就在于将轨道数目的计算问题转变为比较容易的 1-循环的数目的计算问题）．
为了叙述的方便，将图形的四个方格编号为：向．容易计算
，旋转方向为顺时针方
下稳
，因为它将集 中的每个“点”都不动；在
定不变的着色满足： 与 着色相同， 与 ， 与 着色均同，即四个格同色，
由于一共有两色，故得 ；同理可知 ；在 下稳定不
变的着色满足： 与 同色， 与 同色同，一共有 种这样的着色，故得
；于是本质不同的着色数目为：
它们是：
.
上面我们用置换群
作用在全部可能着色集 上
，则 4 阶
的轨道数目解决了问题．下面换一种方法，取编号集 旋转群对应的
上的置换群
这就是说 和 群．
是此 4 阶旋转群在不同集合 和 上产生的置换
复杂的
，但由于，这使得 中的置换的表达方式要
多，对这样的计数问题，能否用 她们之间的关系．在集 分别分别对应
和
而不用 呢？要解决这个问题，就要弄清楚
的旋转
中的每个“点”（号）都可着两种颜色，， 我们知道
不变 中“点”的条件是方格 上，即在同一循环的数要着同色，
着同色，这个特点反映到元素
所以 ，在 中稳定点的个数共有 ；同理
与
与 相对应， 在
中稳定点的个数也有 ； 共有 个，于是
相对应， 在中稳定点的个数一
.
由此例可知，用置换群 代替 计数时，它与 的每个置换的不相交的
循环个数有关，当然与颜色的数目也有关．
类似地如果用红，白，黑三色独立地给图形 的每个格着色，有多少种
本质不同的着色？由上面的分析，利用置换群计算，可得：
感兴趣的读者可将这 种着色具体画出来．
如果用 种 颜色给图形 每个格着色，那么有
种本质不同的着色．注意到置换群的循环指标多项式
为：
，
取 时：
由次可略知引入置换群循环指标多项式的意义．
例 6 用红，蓝，绿三色独立地给一个三角形着色，有多少种不
同的着色方法？（图 2-的着色被看作相同的）
图 2
解 实质上这是三角形顶点之间的置换，将三角形的顶点标号（见图 2-），三角形顶点集
上的对称群 为：
它的循环指标多项式为：
，
取 这
，得
种不同的着色为：
同理可知用 种颜色独立地给三角形的顶点着色，有