例 3 设 图 1），设
是三维空间中一立方体的顶点集合（见
的全体置换而构成的群，求
是由此立方体的旋转而产生的
的循环指标多项式．
图 1
解 这样的旋转共有 24 种，它们分别是：
） 恒等旋转对应的顶点置换为：，它在共轭
类 中，对应的单项式为 ；
）绕相对二面的中点的连线的 旋转，因为有三个面相对面，所以共
有 3 个这样的旋转，其中一个旋转对应的顶点的置换为:
它们在共轭类 中，对应的单项式为
）绕相对二面的中点的连线的 中一个旋转对应的顶点的置换为：
旋转，易见共有 6 个这样的旋转，其
，它在共轭类
中，对应的单项式为 ；
的旋转，因有六队相对的棱，所以共有
，
）绕相对二棱的中点的连线
6 个这样的旋转，其中一个旋转对应的顶点的置换为：
它们在共轭类 中，对应的单项式为 ；
）绕相对二顶点的联线 的旋转，这里有四对相对的顶点，共有 8 个
，它们
这样的旋转，其中一个旋转对应的顶点的置换为：
在共轭类 中，对应的单项式为 ．
立方体中一共有这 24 种互不相同的旋转，它形成立方体的旋转群，此旋转群
所产生的顶点的旋转置换群的循环指标多项式为：
若进一步设
是由立方体的旋转群而产生的边集 为：
是三维空间中立方体的边的集合，上的置换群，
中的置换所在的共轭类
）置换属于共轭类 ；
）置换属于共轭类 ；
）置换属于共轭类 ；
）置换属于共轭类 ；
）置换属于共轭类 ．
从而置换群 的循环指标多项式为
设
方体的旋转而产生的面集
是三维空间中立方体的面的集合，上的置换群，
是由立
中的置换所在的共轭类为：
） ） ）
） ）
从而置换群 的循环指标多项式为：
设 是 阶有限群，定义 上的置换 ：
由定义可知 换群．设映射
， 设 ，由推论 1知 是置
，它是同构映射，称 群为 的 Cayley 表
示．我们感兴趣的是群 的循环指标多项式．
对任意 ，设 的阶为 ，即 ， 是有限群 中的单位元，
-循环
再置换 表示为互不相交的循环的乘积时， 中必有一个
，由 的定义知， 的所有不相交循环的长度都
是
．这样 只有
个
-循环,即置换 对应的单项式是
，由于 的任意性，故置换群 的循环指标多项式为
它又可写为：
这里的整数 跑遍 的全部整除因子，且
作为特殊情形，取 是 次单位根群， 是虚数
，
单位． 是 阶循环群，故它的 Cayley 表示也是 阶循环群．设
，这里
是
的最大公约数， 则群 的循环指标多项式为：
它又可写为：这里
为 Euler 函数，即
．
，令
设 是 集上的置换群， 是 集上的置换群，且
，对每个
，
，定义集上的置换
集上的任意两个置换的乘积定义为：
，
这样在 集上形成一个置换群 与 的直积（direct product）． 由此定义，不难推出：
，称其为置换群
若 定义得时
；当
，且 ，，这里
时
．故
，且 ，由 ，显然当
的
所对应的单项式为
这样我们就得到置换群
为：
的循环指标多项式