第三章 矩阵的相似标准形
矩阵的相似标准形有着广泛的应用．在线性代数中，已讨论了可对角化方阵的相似标准形——对角形矩阵.但并不是所有方阵都可对角化，本章将从任意方阵的特征矩阵入手，介绍矩阵相似的判别法和两种常用的相似标准形，并进一步讨论方阵可对角化的条件，最后给出一类特殊矩阵的对角化方法.
§3.1 ?矩阵及其Smith标准形
一、?矩阵的基本概念
定义1 设aij(?)(i?1,2,?,m,j?1,2,?,n)是数域F上的多项式，以aij(?)为元素的m?n矩阵
?a11(?)a12(?)?a1n(?)???a(?)a(?)?a(?)222n? A(?)??21???????a(?)a(?)?a(?)m2mn?m1?称为多项式矩阵或?矩阵，多项式aij(?)(i?1,2,?,m,j?1,2,?,n)中的最高次数称为A(?)的次数，数域F上m?n?矩阵的全体记为F[?]m?n.
为了与?矩阵相区别，我们把以数域F中的数为元素的矩阵称为数字矩阵．显然，数字矩阵是?矩阵的特例.数字矩阵A的特征矩阵?E?A就是1次
?矩阵.
如果m?n的?矩阵A(?)的次数为k，则A(?)可表示为
A(?)?Ak?k?Ak?1?k?1???A1??A0，
其中Ai(i?0,1,?,k)是m?n数字矩阵，并且Ak?0．例如
????1?2?A(?)??????2?1?2????010???101??100?????????????000??2??11?1????000?．
???000??100???2???????11?1?如果另一个m?n的?矩阵B(?)可表示为
1
B(?)?Bl?l?Bl?1?l?1???B1??B0，
则当且仅当k?l，记为A(?)?B(?). Aj?Bj(j?0,1,?,k)时A(?)与B(?)相等，
由于?的多项式可作加法、减法、乘法三种运算，并且它们与数的运算有相同的运算规律；而矩阵的加法、减法、乘法和数量乘法的定义仅用到其元素的加法、减法、乘法.因此，我们可以同样定义?矩阵的加法、减法、乘法和数量乘法，并且?矩阵的这些运算同数字矩阵的加法、减法、乘法和数量乘法具有相同的运算规律.
矩阵行列式的定义也仅用到其元素的加法与乘法，因此，同样可以定义一个n阶?矩阵的行列式，一般说来?矩阵的行列式是?的多项式，?矩阵的行列式与数字矩阵的行列式有相同的性质，例如，对两个n阶?矩阵A(?)与
B(?)，有
A(?)B(?)?A(?)B(?)
有了?矩阵行列式的概念，可以同样定义?矩阵的子式、代数余子式.
定义2 设A(?)?P[?]m?n，如果A(?)中有一个r(1?r?min{m,n})阶子式不为零，而所有r?1阶子式(如果有的话)全为零，则称A(?)的秩为r，记为
rank(A(?))?r.
规定零矩阵的秩为0.
例1 设A是n阶数字矩阵，则?E?A是?的n次多项式，因此A的特征矩阵?E?A的秩为n，即?E?A总是满秩的.
定义3 设A(?)?P[?]n?n，如果存在一个n阶?矩阵B(?)，使得
A(?)B(?)?B(?)A(?)?E， (1)
则称?矩阵A(?)是可逆的，并称B(?)为A(?)的逆矩阵，记作A?1(?)．
容易证明：如果n阶?矩阵A(?)可逆，则它的逆矩阵是唯一的.
2
定理1 设A(?)?P[?]n?n，则A(?)是可逆的充分必要条件是A(?)是一个非零常数.
证 必要性 设A(?)可逆，则存在n阶?矩阵B(?)满足(1)，从而
A(?)B(?)?1．
因为A(?)与B(?)都是?的多项式，则由上式可知A(?)与B(?)都是零次多项式，故A(?)是非零常数.
充分性 设A(?)?d是非零常数，A(?)*是A(?)的伴随矩阵，则是一个n阶?矩阵，并且
11A(?)*?A(?)*A(?)?E， dd1因此A(?)可逆，并且A?1(?)?A(?)*．
d二、?矩阵的初等变换与等价
A(?)1A(?)*d与数字矩阵类似，对于?矩阵，也可进行初等变换. 定义4 下列三种变换称为?矩阵的初等变换. (1) 互换?矩阵的两行(列)；
(2) 用非零常数k乘以?矩阵的某一行(列)；
(3) 将?矩阵的某一行(列)的?(?)倍加到另一行(列)，（其中?(?)是?的多项式）.
对单位矩阵施行上述三种初等变换便得相应的三种?矩阵的初等矩阵
P(i,j),P(i(k)),P(i,j(?))，即
3
?1????????1??0?1?????i??1??P(i,j)??????，
??1??1?0????j???1???????1???1????????1??P(i(k))??k????i，
??1??????1????1???????1??(?)???i??P(i,c(?))????．
?1???j??????1???与数字矩阵的情形完全一样，对一个m?n的?矩阵A(?)作一次初等行变换相当于在A(?)左边乘上相应的m阶初等矩阵；对A(?)作一次初等列变换相当于在A(?)的右边乘上相应的n阶初等矩阵.
容易证明：初等矩阵都是可逆的，并且
4
P(i,j)?1?P(i,j),P(i(k))?1?P(i(k?1)),P(i,j(?))?1?P(i,j(??))． 为方便起见，我们用下列记号表示初等变换：
[i,j]表示第i,j行(列)互换位置； [i(k)]表示用非零常数k乘第i行(列)；
[i?j(?)]表示将第j行(列)的?(?)倍加到第i行(列)．
定义5 设A(?),B(?)?P[?]m?n，如果A(?)可以经过有限次初等变换化为
B(?)，则称?矩阵A(?)与B(?)等价，记为A(?)?B(?)
由初等变换的可逆性可知，等价是?矩阵之间的一种等价关系. 利用初等变换与初等矩阵的对应关系可得
定理2 设A(?),B(?)?P[?]m?n，则A(?)与B(?)等价的充分必要条件为存在一系列m阶初等矩阵P1(?),?,Pl(?)与n阶初等矩阵Q1(?),?,Qt(?)，使得
A(?)?P1(?)?Pl(?)B(?)Q1(?)?Qt(?)．
与数字矩阵不同，具有相同秩的两个?矩阵未必等价，例如
??2????2?A(?)??,B(?)????，
?0????2?因为A(?)??2,B(?)?4?，所以A(?)与B(?)的秩均为2．因为初等变换是可逆的，则由定理 2知，两个等价的?方阵的行列式只能相差一个非零常数，故A(?)与B(?)不等价，因此，秩相等不是?矩阵等价的充分条件.
§3.２?矩阵在等价下的标准形
现在我们讨论?矩阵在初等变换下的标准形．为此，先证明一个引理. 引理1 设?矩阵A(?)?[aij(?)]的左上角元素a11(?)?0，并且A(?)中至少有一个元素不能被a11(?)整除，则存在一个与A(?)等价的?矩阵
5