对于A3(?)，其初等因子为?,??1,??1，利用定理11可得A(?)的初等因子为?,?,?,??1,??1,??1．
因为A(?)的秩为4，故A(?)的不变因子为
d4(?)??(??1)(??1),d3(?)??(??1),d2??,d1(?)?1 因此A(?)的Smith标准形为
?1??0?0??000???00?．
?0?(??1)0?00?(??1)(??1)?0§3.4 矩阵相似的条件
设A是n阶数字矩阵，其特征矩阵?E?A是?矩阵，它是研究数字矩阵的
重要工具．应用特征矩阵也可以给出两个n阶数字矩阵A与B之间相似性的判断准则．为此，我们先证明两个引理.
引理2 设A,B是两个n阶数字矩阵．如果存在n阶数字矩阵P,Q使得
?E?A?P(?E?B)Q． (1)
则矩阵A与B相似．
证 比较(1)两边?的同次幂的系数矩阵，得
PQ?E,A?PBQ．
由此Q?P?1,A?PBP?1，故A与B相似.
引理3 设A是n阶非零数字矩阵，U(?)与V(?)是n阶?矩阵，则必存在
n阶?矩阵Q(?)、R(?)以及n阶数字矩阵U0、V0，使得
(2) U(?)?(?E?A)Q(?)?U0，
V(?)?R(?)(?E?A)?V0． (3)
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(2)式与(3)式的证明类似，这里仅证(2)式．把U(?)改写成
U(?)?D0?m?D1?m?1???Dm?1??Dm，
其中D0,D1,?,Dm都是n阶数字矩阵．并且D0?0
(1) 若m?0，则取Q(?)?0及U0?D0，它们显然满足要求． (2) 若m?0，令
Q(?)?Q0?m?1?Q1?m?2???Qm?2??Qm?1，
其中Q0,Q1,?,Qm?1是待定的n阶数字矩阵．由
(?E?A)Q(?)?Q0?m?(Q1?AQ0)?m?1??
?(Qk?AQk?1)?m?k???(Qm?1?AQm?2)??AQm?1．
只需取
Q0?D0,Q1?D1?AQ0,Q2?D2?AQ1,?,Qm?1?Dm?1?AQm?2,U0?Dm?AQm?1， 则(2)式成立.
定理12 n阶矩阵A和B相似的充分必要条件是它们的特征矩阵?E?A和?E?B.
证 充分性 设?E?A和?E?B等价，由定理8知存在可逆的?矩阵
U(?),V(?)使
?I?A?U(?)(?E?B)V(?)． (4) 由引理3，存在?矩阵Q(?)与R(?)以及数字矩阵U0与V0使得
U(?)?(?E?A)Q(?)?U0， (5) V(?)?R(?)(?E?A)?V0 ， (6) 把(4)式改写为
U(?)?1(?E?A)?(?E?B)V(?) ， (7) (?E?A)V(?)?1?U(?)(?E?B) ． (8)
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将V(?)的表达式(6)代入(7)式，得
[U(?)?1?(?E?B)R(?)](?E?A)?(?E?B)V0．
因为上式右边的?的次数?1，所以U(?)?1?(?E?B)R(?)是数字矩阵，记为T，即
T?U ， (9) (??)1??(I?B)R?( ) T(?I?A)??(?I0 (10) B)．V由(9)式，并利用(5)式和(8)式，得
I?U(?)T?U(?)(?E?B)R(?)
?U(?)T?(?E?A)V(?)?1R(?)
?[(?E?A)Q(?)?U0]T?(?E?A)V(?)?1R(?)
?U0T?(?E?A)[Q(?)T?V(?)?1R(?)]．
上式右边第二项必为零；否则右边?的次数至少是1，等式不可能成立．因此
I?U0T，从而U0,T可逆，并且T?1?U0．由(10)式得
?I?A?U0(?I?B)V0．
由引理2知，A和B相似．
定义9 设A是n阶数字矩阵，其特征矩阵?I?A的行列式因子、不变因子和初等因子分别称为矩阵A的行列式因子、不变因子和初等因子.
由定理6和定理12立即得
定理13 n阶矩阵A和B相似的充分必要条件是它们有相同的行列式因子，或者说它们有相同的不变因子.
由第二节的例1，定理9和定理12得
定理14 n阶矩阵A和B相似的充分必要条件是它们有相同的初等因子.
§3.5 矩阵的Jordan标准形
定义10 形式为
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0???1??????J???1? (1)
??0???????t?t的矩阵称为Jordan（若尔当）块,其中?为复数．由若干个Jordan块组成的块对角矩阵称为Jordan形矩阵，其一般形式如
?J1?J?????J2???． ???Js???i??其中 Ji??????1?i0??1??,i?1,2,?,s ????1??i??ki?ki并且?1,?2,?,?s中有一些可以相等． 例如，矩阵
?1??0?0??0?0??0?1010040000000??000?000??
?i10?0?i1??00?i??00是一个Jordan形矩阵.
容易验证，ni阶Jordan块Ji具有如下性质：
1)Ji具有一个ni重特征值?i，对应于特征值?i仅有一个线性无关的特征向量. 2)Ji的方幂有明显的表示式
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??fp(?i)????pJi?????????fp?(?i)fp(?i)11?fp??(?i)??fp(ni?1)(?i)?2!(ni?1)!?????fp?(?i)???,p?1,2,? 1??fp??(?i)?2!?????fp?(?i)??fp(?i)?其中fp(?)??p． 3)Ji的不变因子为
d1(?)???dni?1(?)?1,dni(?)?(???i)ni．
从而Ji的初等因子为(???i)ni．
设
J?diag(J1,J2,?,Js)
是Jordan形矩阵，其中Ji为形如(1)的Jordan块．J的特征矩阵为
?E?J?diag(?En?J1,?,?En?Js)
1s由定理11知Jordan形矩阵J的初等因子为
(???1)n1,(???2)n2,?,(???s)ns．
可见，Jordan形矩阵的全部初等因子由它的全部Jordan块的初等因子组成，
而Jordan块被它的初等因子惟一决定，因此，Jordan形矩阵除去其中Jordan块排列的次序外被它的初等因子惟一决定.
定理15 每个n阶复矩阵A都与一个Jordan形矩阵相似，这个Jordan形矩阵除去其中Jordan块的排列次序是被矩阵A惟一决定的.
证 设A的初等因子为
(???1)n1,(???2)n2,?,(???s)ns (2)
其中?1,?2,?,?s可能有相同的，n1,?,ns也可能有相同的．每一个初等因子
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