(???i)ni对应于一个Jordan块 ??i?? Ji??????1??1??,i?1,?2,s (3) ????1??i??ni?ni?i这些Jordan块构成一个Jordan形矩阵
J?diag(J1,J2,?,Js) (4)
其初等因子也是(2)．因为J与A有相同的初等因子，由定理14知J与A相
似．Jordan形矩阵(3)称为矩阵A的Jordan标准形.
若有另一个Jordan形矩阵J'与A相似，则J与A有相同的初等因子．因此，J?与J除去其中Jordan块排列的次序外是相同的，这就证明了惟一性.
利用矩阵在相似变换下的Jordan标准形，可得线性变换的结构.
定理16 设A是复数域上n维线性空间V的线性变换，则在V中存在一组基，使得A在这组基下的矩阵是Jordan形矩阵.
证 在V中任取一组基?1,?2,?,?n，设线性变换A在这组基下的矩阵是
A．由定理15知，存在可逆矩阵P，使得P?1AP?J为Jordan形矩阵．令
(?1,?2,?,?n)?(?1,?2,?,?n)P．
则线性变换A在基?1,?2,?,?n下的矩阵是P?1AP?J为Jordan形矩阵．
如果ni?1，则Ji??i是一阶Jordan块，当矩阵A的Jordan标准形中的Jordan块都是一阶块时，A的Jordan标准形就是对角矩阵．因为一阶Jordan块的初等因子是一次的，所以对角矩阵的初等因子都是一次的．由此得
定理17 设A?Cn?n，则A与一个对角矩阵相似的充分必要条件是A的初等因子都是一次的.
例1 求矩阵
??1?26???A???103?
??1?14???
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的Jordan标准形．
解 因为
00????12?6??1????E?A??1??3?0??10????，
?1?1??4?0(??1)2????0?则A的初等因子为??1，(??1)2．故A的Jordan标准形为
?100???J??011?．
?001???由定理15知，对任意的n阶矩阵A，存在n阶可逆矩阵P，使得P?1AP?J为Jordan标准形．下面介绍求变换矩阵P的方法．先看一个例子.
例2 求化矩阵
??1?26???A???103?
??1?14???为Jordan标准形的变换矩阵.
解 由例1知，存在3阶可逆矩阵P使得
?100???P?1AP?J??011?．
?001???记P?(p1,p2,p3)，则得
?100???(Ap1,Ap2,Ap3)?(p1,p2,p3)?011?．
?001???比较上式两边得
?Ap1?p1,? ?Ap2?p2,?Ap?p?p.23?3由此可见，p1,p2是A的对应于特征值1的两个线性无关的特征向量.
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从方程组
(E?A)x?0，
??1??3?????可求得两个线性无关的特征向量???1?,???0?．
?0??1?????可取p1??．但不能简单地取p2??，因为p2的选取应保证非齐次线性方程组
(I?A)p3??p2有解．由于?,?的线性组合仍是(I?A)x?0的解，因此我们选取p2?k1??k2?，其中待定常数k1,k2只要保证p1和p2线性无关，且使得因为p2?k1??k2??(?k1?3k2,k1,k2)T，所以选取k1,k2(I?A)p3??p2有解即可．使得方程组
?22?6??x1??k1?3k2???????11?3x??k21?????? ?11?3??x???k?2???3???有解，容易看出，当k1?k2时方程组有解，且其解为
x1??x2?3x3?k1，
?2??2???122???????其中k1是任意非零常数．取k1?1，可得p2??1?,p3??0?．于是P??110??1??1??011???????使得
?100???P?1AP??011?，
?001???即P为所求的变换矩阵．
一般地，设A?Cn?n，则存在n阶可逆矩阵P，使得
28
P?1?J1??A?P?J???J2???， (5) ???Js?其中Ji为形如(3)式的Jordan块，记
P?(P1,P2,?,Ps) (6)
n?ni其中P．由(5)式和(6)式得 i?C(AP1,AP2,?,APs)?(PJ11,P2J2,?,PsJs)．
比较上式两边得
AP,2,?,s (7) i?PJii,i?1(i)(i)(i)记P?(p,p,?,pi12ni)，由(7)式可得
?Ap1(i)??ip1(i)?(i)(i)(i)?Ap2??ip2?p1, ???????Ap(i)??p(i)?p(i),inini?1?ni由上式可见，p1(i)是矩阵A对应于特征值?i的特征向量，且由p1(i)可依次
(i)(i)(i)(i)求得p2．由例2可知，特征向量的选取应保证可以求出，类,?,pnpp12i(i)(i)似地p2的选取(因为p2的选取一般不惟一，只要适当选取一个即可)也应保
(i)(i)(i)(i)证p3可以求出，依次类推，并且使p1线性无关. ,p2?,pni§3.6 Cayley-Hamilton定理与最小多项式
设A为任意n阶矩阵，其特征多项式为
f(?)?det(?E?A)??n?a1?n?1?a2?n?2???an?1??an
矩阵A与其特征多项式之间的关系有代数学上著名的哈密顿－凯莱定理.
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定理18(Hamilton－Cayley定理) 设A是n阶矩阵，f(?)是A的特征多项式，则f(A)?0．
证 考虑特征矩阵?E?A的伴随矩阵(?E?A)*，其元素至多是?的n?1次多项式，则(?E?A)*可表示为
(?E?A)*?C1?n?1?C2?n?2???Cn?1??Cn，
其中，C1,C2,?,Cn都是n阶数字矩阵．
因为(?E?A)(?E?A)*?f(?)E，即
(?E?A)(C1?n?1?C2?n?2???Cn?1??Cn) ?E?n?a1E?n?1???an?1E??anE
比较两边?的同次幂的系列矩阵，得
C1?E， C2?AC1?a1E， C3?AC2?a2E，
?
Cn?ACn?1?an?1E， ?ACn?anE．
用An,An?1,?,A,E分别左乘上面各式的两端，再累加，得
AnC1?An?1(C2?AC1)?An?2(C3?AC2)???A(Cn?ACn?1)?ACn
?An?a1An?1???an?1A?anE?f(A)．
因为上式左边为零矩阵，所以f(A)?0．
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