?1?0???????[3?2((??a)2]?0[2(?1)]??0又
00100(??a)3000??0?． ?1????a????1?2????(??2???1)??1(?)，
???1?2??1?22??3(???1)??2(?)，
而(?1(?),?2(?))??，其余的二阶子式(还有7个)都包含因子?，所以
D2(?)??．
最后，由于det(A(?))???3??2，所以D3(?)??3??2． 行列式因子的重要性在于它在初等变换下是不变的.
定理4 等价的?矩阵具有相同的秩和相同的各阶行列式因子.
证 只需要证明，?矩阵经过一次初等变换后，其秩与行列式因子是不变的.
设?矩阵A(?)经过一次初等变换后变成B(?)，f(?)和g(?)分别是A(?)和B(?)的k阶行列式因子，针对3种初等变换来证明f(?)?g(?).
1)交换A(?)的某两行得到B(?)．这时B(?)的每个k阶子式或者等于
A(?)的某个k阶子式，或者是A(?)的某个k阶子式的?1倍.因此f(?)是B(?)和k阶子式的公因子，从而f(?)|g(?).
2)用非零数?乘A(?)的某一行得到B(?)．这时B(?)的每个k阶子式或者等于A(?)的某个k阶子式，或者等于A(?)的某个k阶子式的?倍，因此f(?)是B(?)的k阶子式的公因子，从而f(?)|g(?).
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3)将A(?)第j行的?(?)倍加到第i行得到B(?)．这时，B(?)中那些包含第i行与第j行的k阶子式和那些不包含第i行的k阶子式都等于A(?)中对应的k阶子式；B(?)中那些包含第i行但不包含第j行的k阶子式等于A(?)中对应的一个k阶子式与另一个k阶子式的??(?)倍之和，也就是A(?)的两个k阶子式组合，因此f(?)是B(?)的k阶子式的公因式，从而f(?)|g(?).
由初等变换的可逆性，B(?)也可以经过一次初等行变换变成A(?)，由上面的讨论，同样有g(?)|f(?)，所以f(?)?g(?).
对于初等列变换，可以完全一样地讨论，总之，如果A(?)经过一次初等变换变成B(?)，则f(?)?g(?).
当A(?)的全部k阶子式为零时，f(?)?0，则g(?)?0，B(?)的全部k阶子式也为零；反之亦然，因此A(?)与B(?)既有相同的行列式因子，又有相同的秩.
由定理4知，任意?矩阵的秩和行列式因子与其Smith标准形的秩和行列式因子是相同的.
设?矩阵A(?)的Smith标准形为
?d1(?)???d(?)2???????d(?)r?? (1)
??0??????0???其中di(?)(i?1,2,?,r)是首项系数为1的多项式，并且
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di(?)|di?1(?)(i?1,2,?,r?1).
容易求得A(?)的各阶行列式因子如下：
?D1(?)?d1(?),?D(?)?d(?)d(?),?212 (2) ???????Dr(?)?d1(?)d2(?)?dr(?).于是有
D1(?)|D2(?),D2(?)|D3(?),?,Dr?1(?)|Dr(?)，
d1(?)?D1(?),d2(?)?D2(?)D(?)． (3) ,?,dr(?)?rD1(?)Dr?1(?)从而得如下结论：
定理5 ?矩阵A(?)的Smith标准形是惟一的.
证 因为A(?)的各阶行列式因子是惟一的，则由(3)知A(?)的不变因子也是惟一的，因此A(?)的Smith标准形是惟一的.
应用?矩阵的Smith标准形，可以证明如下定理.
定理6设A(?),B(?)?P[?]m?n，如果A(?)与B(?)和同一个Smith标准形等价，那么A(?)与B(?)等价.
一般说来，通过行列式因子来求不变因子比较复杂，但对一些特殊的?矩阵，先求行列式因子再求不变因子反而简单.
例2 求
?10????a??0??a?? A(?)???????1???0?0??a??m?m的行列式因子和不变因子.
解 由于A(?)的一个m?1阶子式
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?1??a?1????a?1?(?1)m?1，
故Dm?1(?)?1，由(3)式的第一式，即行列式因子的“依次”整除性，有
D1(?)?D2(?)???Dm?2(?)?1． 而Dm(?)?(??a)m，因此A(?)的不变因子为
d1(?)?d2(?)???dm?1(?)?1,dm(?)?(??a)m．
由此可知A(?)的标准形为
?1?????． A(?)????1?m?(??a)??m?m定理7 设A(?)?P[?]n?n，则A(?)可逆的充分必要条件是A(?)可表示为一系列初等矩阵的乘积.
证 必要性 设A(?)为一个n阶可逆矩阵，则由定理1知A(?)?d?0，从而A(?)的行列式因子为
D1(?)?D2(?)???Dn(?)?1．
于是A(?)的不变因子为
d1(?)?d2(?)???dn(?)?1．
因此A(?)与单位矩阵等价，即存在一系列初等矩阵P1(?),?,Pt(?),
Q1(?),?,Qt(?)使得
A(?)?Pl(?)?P1(?)EQ1(?)?Qt(?)?Pl(?)?P1(?)Q1(?)?Qt(?)．
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充分性 设A(?)可表示为一系列初等矩阵的乘积，即存在一系列初等矩阵
P1(?),?,Pl(?),Q1(?),?,Qt(?)使得
A(?)?Pl(?)?P1(?)Q1(?)?Qt(?)，
?1?1?1?1则 P， ?E1(?)?Pl(?)A(?)Qt(?)?Q1(?)则A(?)的行列式是一个非零常数，因此由定理1知A(?)可逆.
利用定理2和定理7容易证明下面定理.
定理8 设A(?),B(?)?P[?]m?n，则A(?)与B(?)等价的充分必要条件是存在两个可逆?矩阵P(??)P?m[?m]与Q(?)?P[?]n?n，使得
B(??)P?(A)?(Q?. )§3.３ 矩阵的初等因子
下面再引进?矩阵的初等因子，设?矩阵A(?)的不变因子为d1(?),
d2(?),?,dr(?)，在复数域内将它们分解成一次因式方幂的乘积：
?d1(?)?(???1)k11(???2)k12?(???s)k1s,?kkk?d2(?)?(???1)21(???2)22?(???s)2s, (1) ???????d(?)?(???)kr1(???)kr2?(???)krs,12s?r其中?1,?,?s是互异的复数，因为di(?)|di?1(?)(i?1,2,?,r?1)，kij是非负整数，所以kij满足如下关系
?0?k11?k21???kr1,?0?k?k???k,?1222r2 ????????0?k1s?k2s???krs.定义8 在(1)式中，所有指数大于零的因子
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