B(?)?[bij(?)]，使得b11(?)?0，且?(b11(?))??(a11(?)).
证 根据A(?)中不能被a11(?)整除的元素所在的位置，分三种情形来讨论.
1)若在A(?)的第一列中有一个元素ai1(?)不能被a11(?)整除，则由多项式的带余除法，存在多项式q(?)和r(?)，使得
ai1(?)?q(?)a11(?)?r(?)，
其中r(?)?0，且?(r(?))??(a11(?))．对A(?)作两次初等行变换，首先将A(?)第1行的?q(?)倍加到第i行，这时第i行第1列位置的元素是r(?)；然后将第1行与第i行互换，即得所要求的?矩阵B(?).
2)在A(?)的第一行中有一个元素a1i(?)不能被a11(?)整除，这种情形的证明与1)类似，但是对A(?)进行的是初等列变换.
3)A(?)的第一行与第一列中的元素都能被a11(?)整除，但A(?)中有另一个元素aij(?)(i?1,j?1)不能被a11(?)整除，因为a11(?)|a1j(?)，所以存在一个多项式?(?)，使得a1j(?)??(?)a11(?)．对A(?)作两次初等列变换．首先将A(?)第1列的??(?)倍加到第j列，这时第1行第j列位置的元素是0，第i行第j列位置的元素变为aij(?)??(?)ai1(?)；然后把第j列的1倍加到第1列，此时第1行第1列位置的元素仍是a11(?)，而第i行第1列位置的元素变为
aij(?)?[1??(?)]ai1(?)，它不能被a11(?)整除，这就化为已经证明的情形1).
定理3 设A(?)?[aij(?)]?P[?]m?n，且ran(A(?))?r，则A(?)必等价于如下对角形矩阵
6
?d1(?)???d(?)2???????d(?)r?? ， (１)
??0??????0???其中di(?)(i?1,?,r)是首项系数为1的多项式，且di(?)|di?1(?)(i?1,2,?, r?1).
证 若r?0，则A(?)为零矩阵，结论显然成立，现设r?0，且A(?)?
[aij(?)]的左上角元素a11(?)?0．否则可通过行、列交换做到这一点，由引理1知，A(?)进行一系列初等变换可得一个与A(?)等价的?矩阵B(?)?[bij(?)]，并且b11(?)是首项系数为1的多项式，b11(?)整除B(?)的全部元素，即有
bij(?)?qij(?)b11(?), i?1,?,m;j?1,?,n．
则可对B(?)作一系列初等变换，使得第1行、第1列除对角元b11(?)外全为零，即
0??d1(?)0???0???， B(?)?????A(?)1?????0???其中d1(?)?b11(?),A1(?)是(m?1)?(n?1)矩阵．因为A1(?)的元素是B(?)中元素的组合，而b11(?)(即d1(?))整除B(?)的所有元素，所以d1(?)整除A1(?)的所有元素.
7
如果A1(?)?0，则对A1(?)重复上述过程，进而把矩阵化成
0??0??d1(?)??0d(?)0?02?????， 0????A(?)2???0?0??其中d1(?),d2(?)都是首项系数为1的多项式，并且d1(?)|d2(?),d2(?)整除
A2(?)的全部元素．继续上述过程，最后把A(?)化成所要求的形式.
定理3中的对角形矩形(１)称为?矩阵A(?)在等价下的标准形即Smith标准形.
m?n定义6 ?矩阵A(?)?P[?]的Smith标准形的主对角线上的非零元
d1(?),d2(?),?,dr(?)称为A(?)的不变因子.
例1 用初等变换把?矩阵
????1?2?A(?)??????2?1?2??????? ??2??化为标准形
解
?1?2?A(?)????[1?3(1)]?0??1?2??1?2?????[3?1(?1)]???????????0?????10??2?????2????0????10?10??[3(?1)]?????????????0???2?0[2?1(??)]??[3?2(1)]??[3?1(??)]2?00??????00?2???????例2 用初等变换将?矩阵
8
00????a?1??0??a?10? A(?)???00??a?1???000??a??化为Smith标准形．
解
?1?0?A(?)????[3,4]?0??0000??1??100?[4?3(??a)]?0??????00?1(??a)3???0??a0??0000??100? 30?1(??a)??00(??a)4??1???1??． ?????3?[4?3((??a))]???1[3(?1)]?4?(??a)??一般地
?1???a??1???????a???????．
????1??1???m???a(??a)????m?m§3.3 ?矩阵的行列式因子和初等因子
本节讨论?矩阵Smith标准形的惟一性，并给出两个?矩阵等价的条件.因此，需要引进?矩阵的行列式因子.
A(?)定义7 设A(?)?P[?]m?n，且rank(A(?))?r．对于正整数k(1?k?r)，
的全部首项系数为１的k阶子式的最大公因式称为A(?)的k阶行列式因子，记为Dk(?).
例1 求
9
????1?2?A(?)??????2?1?2??????? ??2??的各阶行列式因子.
解 由于1??与?的首项系数为１的最大公因式为１，故(1??,?)?1，所以D1(?)?1．
00???1??a????a0?10? A(?)?????[1,2]?00??a?1???000??a????1??a?20(??a)[2?1(??a)]???????00?0?00?1?20(??a)???????[1(?1)]?00[2?1(???a)]?0?000?1?20?1(??a)?????[2,3]?0??a0?00?00?10?20?1(??a)[3?2(??a)]???????00(??a)3?0?0000???10? ???a?1?0??a?00???10?
??a?1??0??a?0??0? ?1????a?0??0? ??1???a? 10