定义11 设A为n阶矩阵，如果非零多项式?(?)使?(A)?0，则称?(?)为
A的一个化零多项式.
对任意n阶矩阵A，f(?)是A的特征多项式，由定理18知f(?)为A的化零多项式．设f(?)为A的化零多项式，g(?)是任意多项式，则g(?)f(?)也是
A的化零多项式.因此，任意n阶矩阵A的化零多项式总存在，并且A的化零多项式有无穷多个.
定义12 n阶矩阵A的所有化零多项式中，次数最低且首项系数为1的多项式称为A的最小多项式.
由定理18知，任意n阶矩阵A的最小多项式存在且次数不超过n. 定理19 设A是n阶矩阵，则
1)A的最小多项式m(?)能整除A的任一化零多项式?(?)，特别地，m(?)能整除A的特征多项式f(?)；
2)A的最小多项式m(?)的零点是A的特征值；反之，A的特征值是m(?)的零点；
3)A的最小多项式是惟一的.
证 1)设m(?)是A的最小多项式，?(?)是A的任一化零多项式，由多项式的带余除法，有
?(?)?q(?)m(?)?r(?)
?)是多项式，r(?)?0或者r(?)?0但?(r(?))??(m(?))．因此其中q(?),r(r(?)?0，否则与m(?)是A的最小多项式矛盾，于是m(?)|?(?).
2)设f(?)是A的特征多项式，由(1)知f(?)?q(?)m(?)，其中q(?)是一个多项式，因此m(?)?0的根必为f(?)?0的根，即A的特征值.
反过来，设?0是A的任一特征值，相应的特征向量为??0，即
A???0?
则
31
m(A)??m(?0)?．
因为m(A)?0,??0，所以m(?0)?0，即?0是m(?)?0的根.
3)设A有两个最小多项式m1(?),m2(?)，则它们的次数相同，如果
m1(?)?m2(?)，则m(?)?m1(?)?m2(?)?0，且?(m(?))??(m1(?)). 设m(?)的首项系数为a，则m3(?)?m(?)是首项系数1的多项式且a?(m3(?))??(m1(?))．由于
m3(A)?11m(A)?(m1(A)?m2(A))?0， aa于是，m3(?)是A的化零多项式，这与m1(?)是A的最小多项式的假设矛盾．因此A的最小多项式是惟一的.
定理20 相似的矩阵具有相同的最小多项式.
证 设n阶矩阵A与B相似，则存在可逆矩阵P，使得
B?P?1AP．
对任意多项式g(?)恒有
g(B)?P?1g(A)P．
可见，A与B有相同的化零多项式，从而它们具有相同的最小多项式.
例1 求Jordan块
??i??Ji????0??的最小多项式．
1?i0?????1?
???i??ni?ni解 因为Ji的特征多项式f(?)?(???i)ni，则由定理19知Ji的最小多项式
m(?)具有如下形式
32
m(?)?(???i)k
其中正整数k?ni.但当k?ni时
0??01??0???km(Ji)?(Ji??iI)???1??0,
??0???0???而k?ni时m(Ji)?0，因此m(?)?(???i)ni．
定理21 分块对角矩阵A?diag(A1,A2,?,As)的最小多项式等于其诸对角块的最小多项式的最小公倍式.
证 设Ai的最小多项式为mi(?)(i?1,2,?,s)．由于对任意多项式?(?)
?(A)?diag(?(A1),?,?(As))．
如果?(?)为A的化零多项式，则?(?)必为Ai(i?1,?,s)的化零多项式，从而
mi(?)|?(?)(i?1,2,?,s)，因此?(?)为m1(?),?,ms(?)的公倍式.
反过来，如果?(?)为m1(?),?,ms(?)的任一公倍式，则?(Ai)?0(i?1,?,s)， 从而?(A)?0．因此，A的最小多项式为m1(?),?,ms(?)的公倍式中次数最低者，即它们的最小公倍式.
定理22 设A?Cn?n，则A的最小多项式为A的第n个不变因子dn(?). 证 由定理15知A相似于Jordan标准形J?diag(J1,?,Js)，其中Ji为形如第5节(1)式的Jordan块．由定理13和定理20知A与J有相同的不变因子和最小多项式．又由定理21知J的最小多项式为J1,?,Js的最小多项式的最小公倍式，而Ji的最小多项式为(???i)ni(i?1,2,?,s)而
(???1)n1,(???2)n2,?,(???s)ns
33
的最小公倍式是J的第n个不变因子dn(?)，因此，A的最小多项式就是A的第n个不变因子dn(?).
由定理17和定理22可得如下定理.
定理23 n阶矩阵A相似于对角矩阵的充分必要条件是A的最小多项式
m(?)没有重零点.
例2如果n阶矩阵A满足A?A2,则称A为幂等矩阵.证明幂等矩阵A一定相似于对角矩阵.
证 令?(?)??2??,则?(?)是A的化零多项式，由定理19知A的最小多项式m(?)整除?(?)所以m(?)??(?)．因为?(?)?0没有重根，据定理23知A相似于对角矩阵．
例3 设A是n阶幂等矩阵，证明 1）AH与E-A也是幂等矩阵； 2）A的特征根只能是0和1；
3）有可逆矩阵P，使P?1AP?diag(1,...,1,0,...,0)；
4）秩A=迹A．
证 1）依定义直接验证即知． 2）设?为A的任一特征根，则有 A????． ?是A相应于?的特征向量．又有
???A??A2??A??????A???2?．
于是 ?2????0．
因??0，故??0或??1．
3）设A的若当标准形为J，则必有可逆矩阵P，使
?? 34
?J1?P?1AP?J?????J2?1????1???????????1??．??? (1)
????0????Js??0?????????0???上式中每个Ji都是特征根1或0相应的若当小块，且与特征根1相应的小块垒排在前头．
由A2=A，可推出J2=J，进而知
Ji2?Ji,i?1,2,...,s
由于
??1??????????1??????1????k??k??????????1k?1Ck?Ck2?k?2???k1k?1Ck?????????????.
2k?2??Ck??1k?1??Ck???k??对于k?2，?为0或1时，欲使上式成立只有若当块的阶数为1.于是(1)式中
所有*全为零．便有
P?1AP?J?diag(1,...,1,0,...,0)．
4）若设秩A?r，则J的主对角元中应有r个1，其余为0．由相似矩阵迹数相等，可知迹A=迹J=r=秩A．
35