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第一讲 函数(文)
第一节 初等函数
函数是高中数学的主干知识，是高中数学的一条主线，它涉及了函数的概念和性质，基本初等函数，数列，不等式，方程，导数，解析几何和立体几何等，是历年高考的重点、热点和必考点.初等函数（由基本初等函数经过运算或复合组成的）是基础. 一般地, 在高考试题中，考察函数知识都是以初等函数为载体.单独以定义域、值域、奇偶性等命题大多是选择题或填空题，综合题中涉及函数性质的往往只是试题的一部分. 难度值一般控制在0.5～0.8之间. 考试要求： ①了解映射概念,理解函数的概念,会选择适当方法表示函数;②会求一些简单函数的定义域和值域；③了解函数的奇偶性,能判断简单函数的奇偶性；④了解反函数的概念及指数函数y?ax与对数函数y?logax互为反函数；⑤理解有理指数幂的含义,掌握幂的运算(性质),掌握指数函数、对数函数的概念,对数的运算性质；. 题型一 判定初等函数的性质 例1 求函数y?231sinx?sin2x?sinx?1的值域. 32点拔 函数是三次函数与三角函数复合函数而成的，令t?sinx,t?[?1,1]得
21y?t3?t2?t?1，本题
322312就转化为求y?t?t?t?1，t?[?1,1]的值域. 三次函数求值域常用导数的方法.
3221y?f(t)?t3?t2?t?1解 令t?sinx,t?[?1,1],则,∴
32y??2t2?t?1?(2t?1)(t?1),
由y??0,得t?或t??1；由y??0,，得?1?t?2112，列表：
t ?1 0 1(?1,) 2? 减函数 1 20 有极小值 1(,1) 21 y' y ? 增函数 112111131?t?,函数有极小值f()??????1??
238242242又f(?1)????1?1??,,f(1)???1?1??,∴y?[?3263262112153124,?].
61易错点 ①令t?sinx,t?[?1,1]，忽略了t?[?1,1]；②错误地认为最值一定在端点处取得.
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变式与引申1： 函数y?题型二 抽象函数的性质
例2 已知函数f(x)对任意实数x，y都有f(x?y)?f(x)?f(y)，且当x?0时，
3sinx+1的值域为_____________
sinx?2f(x)?0，f(?1)??2，求f(x)在[?2，1]上的值域.
点拔 此题f(x)是抽象函数，但是初等函数中，可以找到一个具体函数满足条件，如
f(x)?2x，由此
猜想抽象函数f(x)在??2,1?是递增函数，再用定义证明递增.：设x1?x2，且x1，x2?R，则x2?x1?0，再利用x?0,f(x)?0判断f(x1)与f(x2)的大小关系.下面只要求出
f(?2),f(1)的值就行.
解 设x1?x2，且x1，x2?R，则x2?x1?0，由条件当x?0时，f(x)?0 又f(x2)?f[(x2?x1)?x1?f(x2?x1)?f(x1)?f(x1) ?f(x?x)?021 ?f(x)为增函数， 令x?y?0得f(0)?0，再令用x?1,y??1得出
?f(1)??f(1)?2,
2] 令x?y??1 得f(?2)?2f(?1)??4 ?f(x)在[?2，1]上的值域为[?4，易错点 利用性质“当x?0时，f(x)?0”证明单调性，易出错.
变式与引申2： 设函数y=f(x)是定义在R上的函数，并且满足下面三个条件： ①对任意正数x,y有f(xy)?f(x)?f(y)；②当x?1时，f(x)?0；③ f(3)??1.
?(1)求f(1)、f()的值; （2）证明f(x)在R上是减函数.
19题型三 函数奇偶性的判断
例3 判断函数f(x)?x2?(x?0,a?R)的奇偶性.
xa点拔 利用定义判断函数的奇偶性：第一步：看定义域是否关于原点对称:若定义域不关于原点对称，则
为非奇偶非函数；若定义域关于原点对称，则进行第二步：验证f(?x)与f(x)的关系，若
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f(?x)?f(x)（或f(x)?f(?x)?0,f(x)?1）则f(x)为偶函数；若f(?x)??f(x) f(?x)（或f(x)?f(?x)?0,f(x)??1）则f(x)为奇函数.当难于得出f(?x)?f(x)和 f(?x)f(?x)??f(x)的时候，可以考虑验证特殊值.
解 当a?0时，f(x)?x2为偶函数；
当a?0时，f(1)?1?a,f(?1)?1?a?a?0,?1?a?1?a,f(?x)?f(x)
?a?0,??(1?a)?1?a,?f(?x)?f(x)
?f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
易错点 ①用定义判断奇偶性时，容易漏掉a?0的情况. ②a?0的情况难于得出f(?x)与f(x)的关系，易出错.
变式与引申3： 设a为实数，函数f(x)?x2?|x?a|?1(x?R)．讨论f(x)的奇偶性. 题型四 函数思想的应用
例4 关于 x的方程x2?|x|?a?1?0有四个不同的解，求a的取值范围.
点拔 此题有多种思考方法：法1： 原方程看作含绝对值的方程，则采用去绝对值的方法，分段讨论解一
元二次方程：x2?x?a?1?0(x?0)和x2?x?a?1?0(x?0).原方程有四个不同的解，等价于x2?x?a?1?0(x?0)有2个不等的正解，且x2?x?a?1?0(x?0)有2个不同的负数解.问题就转化为两个一元二次方程根的分布问题.
法2：把原方程看作是关于x的一元二次方程，则令t?x,t?0，则原问题等价于
t2?t?a?1?0有2个不等的正数解.
法3：采用函数思想来观察方程，则可以把原方程变为：x2?|x|?a??1，问题等价于函数
y?x2?|x|?a和y??1的图像有四个不同的交点.事实上，我们还有下面各种变形：x2?|x|?1??a,x2?|x|?1?a.
解 法1 x2?|x|?a?1?0有四个不同的解等价于x?x?a?1?0(x?0)有2个不等的
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正解，
且x2?x?a?1?0(x?0)有2个不同的负数解.
???0?1?4(a?1)?05???1?a? x2?x?a?1?0(x?0)有2个不等的正解??x1?x2?0??a?R4?xx?0?a?1?0??12x2?x?a?1?0(x?0)有2个不同的负数解
???0?1?4(a?1)?05????x1?x2?0??a?R?1?a?
4?xx?0?a?1?0??12综上所述：1?a?5. 42法2 令t?x,t?0则原问题等价于t?t?a?1?0有2个不等的正数解.
???0?1?4(a?1)?05????t1?t2?0??a?R?1?a?.
4?tt?0?a?1?0??12法3 在同一直角坐标系内画出直线y?1与曲线y?x2?|x|?a的图像，如图观图可知， y?5?a?1a的取值必须满足?4a?1,解得1?a?.
4??4?1易错点 ①作为二次方程分类，运算量大，易出错;
x??12 x?12y?x2?|x|?ay?1xa②t?x,易忽略t?0;
③同学们很难将四个不同解等价转化其它问题.. 变式与引申4：
O图1?1?1
y?4a?14?2x?2?,（2011年北京卷。文）已知函数f(x)??x若关于x 的方程f(x)=k有两个不同
?(x?1)3,x?2?的实根，则数k
的取值范围是_______
本节主要考查 ①初等函数的基本性质（定义域，值域，奇偶性等）,理解函数的基本问题是初等函数问题；②通过变量代换将一般函数问题转化为初等函数问题解题；③熟练作出初等函数的图像利用数形结合；④函数思想.
点评 （1）基本方法：①熟练掌握基本初等函数的性质和图像；②初等函数利用变量代换转化为基本初
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等函数； ③求出中间变量的范围. （2）求定义域的常用方法:
根据函数解析式求函数的定义域，利用函数式有意义，列出不等式组，再解出.函数式有意义的依据是：
①分式分母不为0；②偶次方根的被开放数不能小于0；③对数函数的真数大于0,底数大于0且不等于1；
④终边在y轴上的角的正切没有意义；⑤00没有意义；⑥复合函数f??g?x???的定义域，要保证内函数g?x?的值域是外函数f?x?的定义域.
⑦实际问题或几何问题给出的函数定义域除了要考虑函数解析式有意义外，还要考虑使实际问题或几何问题有意义.
（3）求值域的常用方法:①观察法；②配方法；③导数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形结合法；
⑦判别式法；⑧有界性法；⑨换元法. （4）判断函数奇偶性的步骤： 开始
求f(x)定义域
否 是 关于原
点对称
输出“f(x)为 否 f(x)??f(x) 是 非奇非偶函数”
输出“f(x)为 输出“f(x)为 奇或偶函数” 非奇非偶函数”
结束
习题1—1 1. 函数f(x)?4?12xx的图象( ).
C．关于x轴对称 D．关于y轴
A．关于原点对称 B．关于直线y＝x对称 对称
,)2. 已知函数f(x)?mx2?(m?3x的值域是[0??,则实数m的取值范围是)?1________________．
3. 已知定义域为R的函数f(x)??2?b2x?1x?a是奇函数，求a,b的值.
4. 定义在R上的函数y?f(x),f(0)?0,当x?0时,f(x)?1,且对任意的a、b?R,有
f(a?b)?f(a)f(b). （1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的x?R,恒有f(x)?0； 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 5 页 （共 28 页） 版权所有@21世纪教育网