登陆21世纪教育 助您教考全无忧
5. 设函数f(x)?(1?x)2?2ln(1?x).关于x的方程:f(x)?x2?x?a在区间[0,2]上有两个根，求实数a的取值范围.
第二节 导数
导数是文科生研究函数的单调性，求函数极（最）值等的重要工具之一，导数是历来高考的必考点.导数对文科生来说，在课标中增加了三角函数，指数，对数函数等的导数，导数在文科高考中必须引起重视. 导数在历来高考中一般在一个小题、一个大题中出现.难度值控制在0.5～0.8之间.
考试要求 ①了解导数概念的实际背景,理解导数的概念及其几何意义；②了解函数的单调性与导数的关系,会求函数的极大(小)值及闭区间上的最值；③能求一些初等函数的导数；④了解函数在某点取得极值的充要条件；⑤能够用导数研究函数的单调性,利用导数解决某些实际问题.
题型一 初等函数的导数 例1 设函数f(x)?sin?3x3?3cos?2x2?tan?,其中??[0,5?12]，且f?(1)?2，求?.
点拨 看清题目中变量x和?，f(x)的自变量是x，?为参变量，因此f(x)是三次函数；于是先对f(x)
求导，再求f?(1)，从而转化为已知三角函数值求角的问题. 解 ∵f?(x)?sin??x2?3cos??x,
∴f?(1)?sin??3cos??2.
?25???3??3?5?， 又??[0,],???[,],∴???,得??. sin(??)?12334341232易错点 ①此题f(x)中含有两个字母，学生误以为是三角函数，求导数时按三角函数求导法则；.
②容易忽略?的范围.
变式与引申1： 设函数f(x)?sin?33cos?2x?x?tan?，其中 32??[0,5?12]，则导数f?(1)的取值范围是_________.
题型二 初等函数的单调区间和极值
例2 已知函数f(x)?x?3bx?cx?d在(??,0)上是增函数，在(0,2)上是减函数，且
32f(x)?0的一
个根为?b.（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）求证：f(x)?0还有不同于?b的实根x1、x2，且x1、
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 6 页 （共 28 页） 版权所有@21世纪教育网
登陆21世纪教育 助您教考全无忧
?b、x2成等差数列；（Ⅲ）若函数f(x)的极大值小于16，求f(1)的取值范围.
点拨 第（Ⅰ）问中由已知得出函数的极大值点是x?0，即可解出c的值；第（Ⅱ）问要使x1,?b,x2成
?b、等差数列，必须x1?x2??2b，因此关键是将f(x)因式分解，再借助韦达定理推出x1、
x2三者的关系；用函数的思想分析第（Ⅲ）问，将f(1)看作是关于b的函数g(b)，题目即
转化为求g(b)的值域问题.
解 （Ⅰ）f?(x)?3x2?6bx?c，x?0是极大值点，f?(0)?0,（Ⅱ）令f?(x)?0，得x?0或?2b,由f(x)的单调性知?2b?2,?c?0.
?b??1，?b是方程
f(x)?0
的一个根，则(?b)3?3b(?b)2?d?0?d??2b3.
?f(x)?x3?3bx2?2b3?(x?b)(x2?2bx?2b2),
方程x?2bx?2b?0的根的判别式??4b2?4(?2b2)?12b2?0. 又(?b)2?2b(?b)?2b2??3b2?0，即?b不是方程x?2bx?2b?0的根
2222?f(x)?0有不同于?b的根x1、x2.?x1?x2??2b，?x1、?b、x2成等差数列.
（Ⅲ）根据函数的单调性可知x?0是极大值点,
?f(0)?16??2b3?163?b??2，于是?2?b??1,
2令g(b)?f(1)??2b?3b?1,求导g?(b)??6b?3,?2?b??1时，g?(b)?0,
?g(b)在(?2,?1]上单调递减,?g(?1)?g(b)?g(?2)即0?f(1)?11.
易错点 在第（Ⅱ）问中学生对f(x)进行因式分解时易出错或不能因式分解，分解之后易忽视判断“?b
不是方程x?2bx?2b?0的根”； 第（Ⅲ）问中学生不易从函数的角度分析f(1)的取值范围.
变式与引申2：设函数f?x??sinx?cosx?x?1,0?x?2?，求函
2221世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 7 页 （共 28 页） 版权所有@21世纪教育网
登陆21世纪教育 助您教考全无忧
数f?x?的单调区间与极值. 题型三 导数与不等式
例3 已知函数f(x)?x3?x2?ax?b的图像在点P(0,f(0))处的切线方程
31为y?3x?2.(Ⅰ) 求实数a,b的值；(Ⅱ) 设g(x)?f(x)?m是[2,??)上的增函数. x?1求实数m的 最大值；
点拔 ① 过三次函数图像上一点的切线方程可用导数求斜率,再用点斜式求直线方程，从而布列方程组求
出a,b的值；②利用“函数在某区间上递增(递减),其导数在这区间上恒大于(小于)零”转化为不等式恒成立的问题.
?f?(0)?3,?a?3,2?解 (Ⅰ) 由f(x)?x?2x?a及题设得?即?
f(0)??2.b??2.??(Ⅱ) 由g(x)?13mm. x?x2?3x?2?得g?(x)?x2?2x?3?2(x?1)3x?1∵g(x)是[2,??)上的增函数， ∴g?(x)?0在[2,??)上恒成立. 即x2?2x?3?m(x?1)2?0在[2,??]上恒成立, 设(x?1)2?t.
∵x?[2,??)， ∴t?[1,??), 即不等式t?2?当m?0时，设y?t?2?m≥0在[1,??)上恒成立. tm?0在[1,??)上恒成立. tm?0，t?[1,??). 当m＞0时，设y?t?2?tmm因为y??1?2＞0，所以函数y?t?2?在[1,??)上单调递增. 因此ymin?3?m.
tt∵ymin?0, 为3.
易错点 有些学生错用g(x)?f(x)?∴3?m?0,
即m?3. 又m?0, 故0?m?3. 综上，m的最大值
m是[2,??)上的增函数?g?(x)?0的解为x?1[2,??).
3变式与引申3：设函数f(x)?ax?3x?1(x?R)，若对于任意的x???1,1?都有f(x)?0成立，求实数a的值.
题型四 导数与解析几何
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 8 页 （共 28 页） 版权所有@21世纪教育网
登陆21世纪教育 助您教考全无忧
例4 已知函数f(x)?x3?ax2?bx?c．
(Ⅰ) 若函数y?f(x)的图像上存在点P，使P点处的切线与x轴平行，求实数a,b的关系式；
(Ⅱ) 若函数f(x)在x??1和x?3时取得极值，且其图像与x轴有且只有3个交点，求实数c的
取值范围．
点拨 本题的关键是将几何问题转化为代数问题.第(Ⅰ)问中“点P的存在性问题”转化为“方程f?(x)?0解的存在性问题”；第(Ⅱ)问中“图像与x轴有且只有3个交点”转化为“f(x)的极大值大于0，且极小值小于0”.
解 (Ⅰ) f?(x)?3x2?2ax?b, 设切点为P(x0,y0),
则曲线y?f(x)在点P处的切线的斜率k?f?(x0)?3x0?2ax0?b,
由题意，知f?(x0)?3x0?2ax0?b?0有解，∴ ??4a?12b≥0 即a≥3b. (Ⅱ)由已知可得x??1和x?3是方程f?(x)?3x2?2ax?b?0的两根， ∴ ?1?3?22222ab，?1?3?，∴ a?3，b??9． 33∴ f?(x)?3(x?1)(x?3)，∴ f(x)在x??1处取得极大值，在x?3处取得极小值．
∵ 函数y?f(x)的图像与x轴有且只有3个交点， ∴ ??f(?1)?0,
?f(3)?0.??1?3?9?c?0,又f(x)?x?3x?9x?c， ∴ ? 解得?5?c?27．
27?27?27?c?0?32易错点 有些学生对三次函数图像与x轴（或平行x轴的直线）的交点问题难以从整体把握，
难以找到几何问题转化为代数问题的切入点.
变式与引申4： 设函数f(x)=|x+1|+|ax+1|，已知f(?1)?f(1)，且a?R（a?R,
32且a?0），函数g(x)?ax?bx?cx（b?R，c为正整数）有两个不同的极值点，且该
函数图像上取得极值的两点A、B与坐标原点O在同一直线上.
（1）试求a，b的值；（2）若x?0时，函数g(x)的图像恒在函数f(x)图像的下方，求正整数c的值.
本节主要考查 初等函数的导数；导数的运算；利用导数研究函数的极值、单调性；求切线等数形结合的思想和函数与方程的思想.
f(x)求导f?(x) 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 9 页 （共 28 页） 版权所有@21世纪教育网
登陆21世纪教育 助您教考全无忧
点评：
① 求f(x)在?a,b?的最值的方法：
② 求f(x)单调区间、极值的方法：
求导f?(x) 由f?(x)=0求x1，x2? (??,x1) x1 (x1,x2) x2 ? 列 表 f(x)f?(x) 得出单调区间(极值) ③利用导数，求曲线y?f(x)在点?x0,y0?处的切线方程，先求k?f?(x0)再求方程
y?y0?f?(x0)(x?x0).
习题1—2
1．已知f(x)?x2?3xf?(2),则f?(2)= x3 .
2. 曲线y?2e?x?1在点（0，1）处的切线方程为 ． 3. 设定函数f(x)?a3x?bx2?cx?d(a＞0)，且方程 3f'(x)?9x?0的两个根分别为1，4.
（Ⅰ）当a?3且曲线y?f(x)过原点时，求f(x)的解析式； （Ⅱ）若f(x)在(??,??)无极值点，求a的取值范围. 4. 已知函数f(x)?x?3ax?9ax?a． （Ⅰ）设a?1，求函数f(x)的极值；
322321世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 10 页 （共 28 页） 版权所有@21世纪教育网