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（Ⅱ）若a?
5. 设函数f(x)?x3?x2?bx?c，其中a?0，曲线y?f(x)在点P(0,f(0))处的切线
321a14，且当x?[1，4a]时，|f?(x)|?12a恒成立，试确定a的取值范围．
方程为y?1. （Ⅰ）确定b,c的值;
（Ⅱ）设曲线y?f(x)在点(x1,f(x1))及(x2,f(x2))处的切线都过点(0,2).证明：当x1?x2时，
f?(x1)?f?(x2)；
（Ⅲ）若过点(0,2)可作曲线y?f(x)的三条不同切线，求a的取值范围.
第三节 函数的单调性、最值和极值
函数的单调性、最（极）值是高考的热点，新课程中函数的单调性、最（极）值的要求
提高了，可能更会成为高考的热点、难点. 在高考试题中，函数的单调性、极（最）值往往是以某个初等函数为载体出现，综合题往往与不等式、数列等联系起来，处理方法除了定义法之外，一般采用导数法.难度值控制在0.3～0.6之间. 考试要求：①了解函数单调性的概念,掌握判断简单函数的单调性的方法；②了解函数单调性与导数的关系；③能求函数的最大（小）值；④掌握用导数研究函数的单调性. 题型一 已知函数的单调性、最（极）值，求参变量的值. 例1 设函数f(x)?6x3?3(a?2)x2?2ax.
（1）若f(x)的两个极值点为x1,x2且x1x2?1，求实数a的值；
（2）是否存在实数a，使得f(x)是(??,??)上的单调函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.
点拨 因为是三次函数，所以只要①利用“极值点?f?(x)?0的根”，转化为一元二次方程根的问题；②利用f(x)在(??,??)上单调?f?(x)＞0（＜0），转化为判断一元二次函数图像能否在x轴上方的问题.
2解 f?(x)?18x?6(a?2)x?2a
（1）由已知有f?(x1)?f?(x2)?0，从而x1x2?2a18?1,所以a?9；
22（2）由??36(a?2)?4?18?2a?36(a?4)?0，得f?(x)?0总有两个不等的实根，
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f(x)不恒大于零，所以不存在实数a，使得f(x)是R上的单调函数.
易错点 ①三次函数的极值点x1,x2与原函数f(x)的导数关系不清； ②含参变量a的问题是逆向思维，学生易出现错误；
③学生不会将f(x)在(??,??)上是单调函数的问题转化为f?(x)?0(?0)恒成立问题. 变式与引申1：(2011年高考江西卷理) 设f(x)??????x?x??ax ??（1）若f(x)在(,??）上存在单调递增区间，求a的取值范围； （2）当??a??时，f(x)在[?,?]上的最小值为?????，求f(x)在该区间上的最大值． ?题型二：已知最（极）值或其所在区域，通过单调性分析参变量的范围. 例2已知函数f(x)?x3?(1?a) x2?a(a?2)x?b(a，b?R)．
（1）若函数f(x)的图像过原点，且在原点处的切线斜率是-3，求a，b的值； （2）若函数f(x)在区间（?1，1）上至少有一个极值点，求a的取值范围．．．．．．．．．
点拔：第（1）问利用已知条件可得f?0??0,f?(0)=0，求出a，b的值.第（2）问利用“极值点?f?(x)?0”的根转化为一元二次方程根的分布问题. 解析：（1）由函数f(x)的图像过原点，得b?0，
又f?(x)?3x2?2(1?a)x?a(a?2)，f(x)在原点处的切线斜率是?3， 则?a(a?2)??3，所以a??3，或a?1． （2）法一：由f?(x)?0，得x1?a，x2??a?2．又f(x)在(?1,1)上至少有一个极值点， 3a?2??1，??1?a?1，??5?a?1，??1?a?1，??1??????3即?或解得或???11 a?2a?2a??，a??．a??，????a??．?2?23??3?所以a的取值范围是??5，?2??1??1?1?． ????，2??2?法二：f?(x)?3x?2(1?a)x?a(a?2),由题意
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①f'(x)?0必有一根在(-1,1)上,
故f'(-1)?f'(1)?0,即(5?4a?a2)(1?a2)?0,解得?5?a??1；
或f'(-1)=0，则a??1，当a?1,f(1)?0（舍去），当a??1时，经检验符合题意； 同理f'(1)=0，则a?1或5，经检验，均不符合题意，舍去. ②f'(x)?0有两个不同的根在(-1,1)上
?f'(-1)?0?11故?f'(1)?0解得：?1?a??或??a?1
22???0?所以，a的取值范围??5，???1??1?1?. ????，2??2?易错点：①解不等式f?(x)?0出错；②第（2）问的解法一，不易分析.；③第（2）问的解法二，分类讨论，不易讨论完整.
变式与引申2：将（2）中改为“f(x)在区间（?1，1）上有两个极值点”，或改为“f(x)存在极值点，但在区间（?1，1）上没有极值点”，如何求a的取值范围？ 题型三 函数的单调性、最（极）值与不等式结合的问题
例3 设函数f(x)?x2ex?1?ax3?bx2，已知x??2和x?1为f(x)的极值点． （1）求a和b的值； （2）讨论f(x)的单调性；
（3）设g(x)?x3?x2，试比较f(x)与g(x)的大小．
32点拔 此题是由指数函数与多项式函数等组合的超越函数，分析第（1）问先由极值点转化为方程的根，再用待定系数法；第（3）问中比较两个函数f(x)与g(x)的大小，可构造新函数F(x)?f(x)?g(x)，再通过分析函数F(x)的单调性来讨论F(x)与0的大小关系.
x?122x?1解 （1）因为f?(x)?e(2x?x)?3ax?2bx?xe(x?2)?x(3ax?2b)，
又x??2和x?1为f(x)的极值点，所以f?(?2)?f?(1)?0，
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??6a?2b?0，1因此?解方程组得a??，b??1．
3?3?3a?2b?0，（2）因为a??，b??1，所以f?(x)?x(x?2)(ex?1?1)， 令f?(x)?0，解得x1??2，x2?0，x3?1．
因为当x?(??，?2)?(0，1)时，f?(x)?0；当x?(?2，0)?(1，??)时，f?(x)?0． 所以f(x)在(?2，0)和(1，??)上是单调递增的；在(??，?2)和(0，1)上是单调递减的． （
3
）
由
（
x?131）可
3x?知
2， ?xef(?x)2x?1x1e?33?x，故x2F(x?)fx?g(x?x)21?x(?x)(e)令h(x)?ex?1?x，则h?(x)?ex?1?1．令h?(x)?0，得x?1， 因为x????，1?时，h?(x)≤0，所以h(x)在x????，1?上单调递减． 故x????，1?时，h(x)≥h(1)?0；
因为x??1，???时，h?(x)≥0，所以h(x)在x??1，???上单调递增． 故x??1，???时，h(x)≥h(1)?0．
??)，恒有h(x)≥0，又x所以对任意x?(??，??)，恒有f(x)≥g(x)． 故对任意x?(??，易错点 ①求导数时，(xe2x?12≥0，因此F(x)?f(x)?g(x)≥0，
)?易出错；②比较两个函数的大小属于不等式问题，学生容易
23x?x2，试证f(x)?g(x)恒成立． 3只从不等式的简单知识出发，而无法从构造的新函数的单调性来分析. 变式与引申3： 将第（3）问改为：设g(x)?本节主要考查：（1）用导数研究函数单调性,极值；（2）利用单调性、极值点与导数的关系解决一些综合问题；（3）方程与函数的转化,方程思想和函数思想综合应用；（4）数形结合思想. 点评：（1）讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集；
（2）求函数单调区间的常用方法：定义法、图像法、复合函数法、导数法等；
（3）利用求导的方法研究函数的单调性、最（极）值，函数在区间上为单调问题转化为导函数在区间上的正负问题，从而转化为不等式问题，再而研究函数的最（极）值.需灵活应
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运用函数与方程思想、数形结合思想、化归思想和分类讨论思想等.
习题1—3 1. 已知：函数f(x)???log3x(0?x?9)??x?11(x?9)b，，若a，且f(a)?f(b)?f(c)，c均不相等，
则a?b?c的取值范围是（ ） A. (0,9) B. (2,9) C. (9,11) D.(2,11)
2. 已知函数f(x)与g(x)的定义域均为非负实数集，对任意的x?0，规定f(x)?g(x)
?min{f(x),g(x)},若f(x)?3?x,g(x)?2x?5,是f(x)?g(x)的最大值为 .
3.已知函数f(x)?x3?3ax2?3x?1.
（1）设a?2，求f(x)的单调区间；
（2）设f(x)在区间(2,3)上不单调，求a的取值范围. 4.已知函数f(x)?x，g(x)?alnx,a?R.
（I）若曲线y?f(x)与曲线y?g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；
（II）设函数h(x)?f(x)?g(x)，当h(x))存在最小值时，求其最小值?(a)的解析式； （III）对（2）中的?(a)，证明：当a?(0,??)时，?(a)?1. 5.设函数f(x)?(x?1)?blnx，其中b为常数． （1）当b?21时，判断函数f(x)在定义域上的单调性； 2（2）b?0时，求f(x)的极值点；
（3）求证对任意不小于3的正整数n，不等式ln(n?1)?lnn?
1都成立． n2第四节 函数的综合应用(1)
函数内容是每年高考都要考查的重点内容之一，函数的观点和思想方法是高中数学的一条重要的主线，选择、填空、解答三种题型每年都有，函数题的身影频现，而且常考常新．函数和其它内容如导数、不等式、数列等内容的结合是近几年的考查热点，题目由易到难几乎都有，与导数的结合更是经常作为压轴题出现.
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