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（Ⅱ）求f(x)在区间[0,1]上的最小值.
第五节 函数的综合应用(2)
函数、导数、不等式等这三部分或它们的综合,在每年高考试题中都有大量出现,综合性都比较强,，题目都有较高的难度；利用函数解不等式,利用导数研究函数的单调性,求函数的极值和最值等是考查的重点.特别今后,高考的应用题不一定是概率题,那么函数作为解决生活实际问题的重要方法,其应用题出现在高考试题中,并且可能常态化那也在情理之中. 考试要求 能结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系,能利用导数研究函数的单调性,会用导数求函数的极大值、极小值以及生活中的优化问题.能够利用函数解决一些生活实际问题. 题型一 函数与不等式
2? x?1?(x?1) 例1设函数f(x)??，则使得f(x)?1的自变量x的取值范围为（ ）
??4?x?1 x?1 A.(??,?2]?[0,10] B. (??,?2]?[0,1] C. (??,?2]?[1,10] D.
[?2,0)?[1,10]
点拨：由分段函数的表达式知，需分成两类：
x?1??x?1?解析：由f(x)?1，则?或?， 2(x?1)?14?x?1?1???解该不等式组得，a?(??,?2]?[0,10].选A
例2 已知函数f(x)=|lgx|.若0
点拨：注意a的取值范围，利用均值不等式求解.
解：
作出函数f(x)=|lgx|的图象，由f(a)?f(b),0?a?b知0?a?1?b,?lga?lgb,?ab?1，
?a?2b?a?22，考察函数y?x?的单调性可知，当0?x?1时，函数单调递减，ax2?a?2b?a??3，
a故选C. 易错点：例1分段函数不等式一般通过分类讨论的方式求解，解对数不等式没注意到真数大于0，或没注意底数在（0，1）上时，或不等号的方向写错等；例2直接利用均值不等式求解得?a?2b?a?2?22最小值为22等错误. a21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 21 页 （共 28 页） 版权所有@21世纪教育网
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?(a?2)x?1,x?1变式与引申1 已知函数f(x)??.若f(x)在(??,??)上单调递增，则实数
x?1?logax,a的取值范围为________.
变式与引申2 已知二次函数f(x)?ax2?bx?cx，不等式f(x)??2x的解集为(1,3)． ①若方程f(x)?6a?0有两个相等的实根，求f(x)的解析式；
②若f(x)的最大值为正数，求实数a的取值范围． 题型二 函数与数列
例3 已知函数y?f(x)(x?R)满足f(x)?f(1?x)?（1）求f()和f()?f(1. 2n?1)(n?N*)的值； n12n?1)?f(1)，求列数{an} （2）若数列{an}满足an?f(0)?f()?f()???f(nnn的通项公式；
（3）若数列{bn}满足anbn?值时，不等式2kSn?bn恒成立.
121n1,Sn?b1b2?b2b3?b3b4???bnbn?1，则实数k为何41n?12n?21??????1，及f(x)?f(1?x)?，构成对进行nnnn211运算；（3）求出bn，将bnbn?1?裂项，并求和求出Sn，再利用二次函数单调性?n?1n?2点拨 （2）注意到0?1?性质求解.
111111，则f()?f(1?)?，?f()?. 22222411111n?11)? 令 x?，则f()?f(1?)?，即f()?f(nnn2nn212n?1)?f(1) ① （2）∵an?f(0)?f()?f()???f(nnnn?1n?21)?f()???f()?f(0) ② ∴an?f(1)?f(nnn1n?111n?1)? ∴①+②，得2a?(n?1)?.?an?. 由（1），知 f()?f(nn224n?111,anbn?,?bn?（3）∵an?,∴Sn?b1b2?b2b3?b3b4???bnbn?1 44n?1解：（1）令 x?1111111111111111???????????(?)?(?)?(?)???(?) 233445n?1n?2233445n?1n?211nkn1kn2?(1?k)n?2??? ?2kSn?bn? ??2n?22(n?2)n?2n?1(n?1)(n?2)21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 22 页 （共 28 页） 版权所有@21世纪教育网
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由条件，可知当kn2?(1?k)n?2?0恒成立时即可满足条件.
设f(n)?kn2?(1?k)n?2,当k＞0时，又二次函数的性质知kn2?(1?k)n?2?0不可能恒成立；
当k=0时，f（n）=－n－2＜0恒成立；当k＜0时，由于对称轴直线
n???(1?k)111????. 2k2k22∴f（n）在[1,??)上为单调递减函数∴只要f（1）＜0，即可满足kn2?(1?k)n?2?0恒成立,
∴由f(1)?k?(1?k)?2?0,得k?3,又k?0，∴k＜0. 2综上知，k≤0，不等式2kSn?bn恒成立. 易错点 没有发现0?1?1n?12n?21??????1，可以结合f(x)?f(1?x)?，进行nnnn2逆序求和；对Sn?b1b2?b2b3?b3b4???bnbn?1不能裂项求和或求和中出错，对
kn2?(1?k)n?2?0恒成立的讨论不够严谨造成错误.
变式与引申3：已知f(x)定义在R上的函数,对于任意的实数a,b都有f(ab)?af(b)?bf(a),
且f(2)?1.
①求f()的值；②求f(2?n)(n?N*)的解析式.
21变式与引申4：一企业生产的某产品在不做电视广告的前提下，每天销售量为b件. 经市场调查后得到如下规律：若对产品进行电视广告的宣传，每天的销售量S（件）与电视广告每天的播放量n（次）的关系可用如图所示的程序框图来体现. ①试写出该产品每天的销售量S（件）关于电视广告每天的播放量n（次）的函数关系式；
②要使该产品每天的销售量比不做电视广告时的销售量至少增加90%，则每天电视广告的播放量至少需多少次？ 题型三 含参数的函数极值问题
例4 设x1、x2(x1?x2)是函数f(x)?ax3?bx2?a2x(a?0)的两个极值点. （1）若x1??1,x2?2，求函数f(x)的解析式； （2）若|x1|?|x2|?22,求b的最大值；
（3）若x1?x?x2,且x2?a,函数g(x)?f?(x)?a(x?x1)， 求证：|g(x)|?
1a(3a?2)2.12
点拨（2）根据根与系数关系得出两根异号，则
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（3）将不等式问题转化|x1|?|x2|?|x1?x2|?(x1?x2)2?4x1x2，再用导数求b的最大值；为求函数的最大值问题.
2解 f?(x)?3ax?2bx?a2(a?0).
（1）?x1??1,x2?2是函数f(x)的两个极值点， ?f?(?1)?0,f?(2)?0.
?3a?2b?a2?0,12a?4b?a2?0,解得a?6,b??9.?f(x)?6x3?9x2?36x.
（2）∵x1、x2是 f(x)是两个极值点，?f?(x1)?f?(x2)?0.
∴x1、x2是方程3ax?2bx?a?0的两根.∵△= 4b + 12a， ∴△>0对一切a > 0，
2
3
22b?R恒成
立.x1?x2??
2b3a x1x2??,∵a?0,∴x1x2?0.
3a2b2a4b24?|x1|?|x2|?|x1?x2|?(?)?4(?)??a.
3a39a234b2422由|x1|?|x2|?22得?a?22,?b?3a(6?a). 239a?b2?0,?3a2(6?a)?0,0?a?6.
令
h(a)?3a2(6?a),则h?(a)??9a2?36a.
0?a?4时,h?(a)?0?h(a)在（0，4）内是增函数；4?a?6时,h?(a)?0
∴h (a)在（4，6）内是减函数.∴a = 4时，h(a)有极大值为96，?h(a)在?0,6?上的最大值是96，
∴b的最大值是46.
（3）证法一：∵x1、x2是方程f?(x)?0的两根，
?f?(x)?3a(x?x1)(x?x2)，
1|x?x1|?|x?x2?|13)2 ?|g(x)|?3a|x?x1|?|x?x2?|?3a(3221世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 24 页 （共 28 页） 版权所有@21世纪教育网
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?x1?x?x2,?x?x1?0,x?x2?0,3a13a1[(x?x1)?(x?x2?)]2?(x2?x1?)2. 4343a1?x1?x2??,x2?a,?x1??.33?|g(x)|??|g(x)|?
3a111?(a??)2?a(3a?2)2. 43312证法二：∵x1、x2是方程f?(x)?0的两根，
?f?(x)?3a(x?x1)(x?x2).
a1?x1?x2??,x2?a,?x1??.
33111?|g(x)|?|3a(x?)(x?a)?a(x?)|.?|a(x?)[3(x?a)?1]|
333∵
1
x1?x?x23a?13,
a21?|g(x)|?a(x?)(?3x?3a?1)313??3a(x?)(x?3)??3a(x?)?23a43?a2?a
3a31a(3a?2)22??a?a?4312
易错点 本题讨论、计算较多，不小心都容易出错，对问题的转化能力要求较高. 变式与引申5：若函数f?x??1312x?ax??a?1?x?1在区间?1,4?上是减函数，在区间32?6,???上是增函数，求实数a的取值范围．
变式与引申6：已知函数f?x??lnx?12ax?2x?a?0?存在单调递减区间，求a的取值范2围；
题型四 函数应用题
例5 2010年上海世博会组委会为保证游客参观的顺利进行，对每天在各时间段进入园区和离开园区的人数作了一个模拟预测. 为了方便起见，以10分钟为一个计算单位，上午9点10分作为第一个计算人数的时间，即n?1；9点20分作为第二个计算人数的时间，即n?2；f(n)f(n) 依此类推??，把一天内从上午9点到晚上24点分成了90个计算单位. 10800 10800对第n个时刻进入园区的人数f(n)和时间n（n?N） 满足以下关系（如图1-4-2）：
3600 36001 1?n O1 24 36 72 90 7290n13624（图1-5-2）
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