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考试要求：（1）了解映射概念，理解函数的概念；（2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法；（3）掌握指、对数函数的概念、图象和性质.（4）根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法. 题型一 函数解析式问题
例1 某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系．．6．用取整函数y＝[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为( ).
A.y?[] B.y?[10x?510xx?310x?410] C.y?[]
D.[y?[]
点拨 用具体数据代入选项，确定哪个函数比较符合；
解 法一：特殊取值法，若x=56，y=5,排除C、D，若x=57，y=6，排除A，所以选B 法二：设x?10m??(0???9),当0???6时,[时,[x?310x?310]?[m???310]?m?[], 当6???910x]?[m???310]?m?1?[]?1,所以选B.
10x?f(x),f1(x)?f2(x),若方程有四个不例2设f1(x)?|x?1|,f2(x)??x2?6x?5,函数g(x)??1f(x),f(x)?f(x)?212同的实数解,
若方程g(x)?a有四个不同的实数解，则实数a的取值范围是_________.
点拨在同一坐标系中画出f1(x)和f2(x)的图象，再根据题意画出g(x)，
根据图象得出a的取值范围.
解在坐标系中作出f1(x)和f2(x)的图象，可知g(x)图象如图所示， 故a的取值范围是3?a?4.
易错点 ⑴对例1中抽象函数理解不强，缺少处理方法容易造成错误；（2）正确理解例2中解析式g(x)所表示的意义是解题的关键，如果讨论f1(x)和f2(x)的大小再得出g(x)的解析式，然后画图，一是计算量比较多，再是容易出错.
2x?bx?c,x?0,变式与引申1： 设函数f(x)?若f(?4)?f(0),f(?2)??2,则关于x的
2,x?0.?方程f(x)?x的解的个数为（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
变式与引申2： 设函数y?f(x)由方程x|x|?y|y|?1确定，下列结论正确的是 （请将你认为正确的序号都填上）
（１）f(x)是R上的单调递减函数；[来源:Zxxk.Com] （２）对于任意x?R，f(x)?x?0恒成立；
（３）对于任意a?R，关于x的方程f(x)?a都有解；
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题型二 函数的性质与图象
例2 已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x?4)??f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，若方程
f(x)=m(m>0)在区间[?8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4，则
x1?x2?x?_________. 3x?4点拨 由f(x?4)??f(x)求出f(x)的周期，又根据函数是奇函数且在区间[0,2]上是增函数，得出f(x)在一个周期[-2,2]中的单调
性，再根据对称性求值.
解 因为定义在R上的奇函数，满足f(x?4)??f(x)，所以f(x?4)?f(?x)，所以函数图象关于直线x?2对称且f(0)?0，由f(?x4?)?f知xf(x?8)?f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为f(x)在区间[0,2]上是增函
数，所以f(x)在区间[?2,0]上也是增函数．如图所示，那么方程f(x)=m(m>0)在区间[?8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,不妨设x1?x2?x3?x4由对称性知x1?x2??12，，
x3?x4?4．所以x1?x2?x3?x4??12?4??8．
易错点 对函数的奇偶性,单调性，对称性，周期性等其中的一个知识点掌握不好，都容易出错；不能得出f(x)是周期函数，或不能得出对称轴及单调区间等错误. 变式与引申3：函数y?cos4x的图像大致是 （ ） 2x
A．
B．
C．
D．
1122变式与引申4：设函数的集合P?{f(x)?log2(x?a)?b|a??,0,,1;b??1,0,1}， 平面上点的集合Q?{(x,y)|x??,0,,1;y??1,0,1},
2211则在同一直角坐标系中，P中函数f(x)的图象恰好经过Q中两个点的函数的个数是 ．．( )
A 4 B 6 C 8 D 10 题型三 函数零点与二分法思想
例4 设函数f(x)?x|x?1|?m,g(x)?lnx. （1）当m?1时,求函数y?f(x)在[0,m]上的最大值；
（2）记函数p(x)?f(x)?g(x)，若函数p(x)有零点，求m的取值范围.
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点拨 （1）这是一道含绝对值的函数题，对x与1的大小进行讨论，去掉绝对值后求值；（2）函数p(x)有零点转化为方程m?lnx?x|x?1|有解，用导数求出该函数的值域得出m的取值范围.
解 （1）当x?[0,1]时，f(x)?x(1?x)?m＝?x?x?m??(x?)?m?∴当x?21221 411时，f(x)max?m?. 242当x?(1,m]时，f(x)?x(x?1)?m＝x?x?m?(x?)?m?1221.∵函数y?f(x)在4(1,m]上
单调递增,∴f(x)max?f(m)?m2,由m2?m?14,得m2?m??0,又m?1,解得
41m?1?22,
时,f(x)max?m2,当1?m?1?22∴当m?1?22时, f(x)max?m?.
41?（2）函数p(x)有零点即方程f(x)m?lnx?x|x?. 10(],令h(x)?lnx?x|x?1|，当x?1g(x?)x|?x1?|l?xn有m?解，得
时，h(x)?x2?x?lnx,?h'(x)?2x?1 ?1?22?1?0，
x因nx?为x所以函数h(x)在x?(0,1]上是增函数，?h(x)?h(1)?0； 当
x?(1,??)时，h(?2x)?x?,l?)?1?x22?x?1x(?x1h?(?x)?2x??1??，
xxx所以函数h(x)在x?(1,??)上是减函数，所以h(x)?h(1)?0.
0(2?1所以方程m?lnx?x|x?1|有解时m?0，即函数p(x)有零点时m的取值范围是(??,0]. 易错点 （1）去绝对值和对求值大小进行讨论时考虑不周造成的错误；（2）零点问题不能转化成方程有解问题，从而不能使问题得到有效的解决. 变式与引申5：函数f(x)?ln?x?1??2的零点所在的大致区间是( ) x A.（0，1） B. (1,2) C. (2,3) D. ?3,4? 变式与引申6：已知函数f(x)?x?2，g(x)?x?lnx，h(x)?x?xx?1的零点分别
为x1,x2,x3，则x1,x2,x3的大小关系是( )[来源:学.科.网Z.X.X.K] A．x1?x2?x3 B．x2?x1?x3 C．x1?x3?x2 D．x3?x2?x1
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题型四 函数与导数问题
例5 已知函数f(x)?x3?3ax(x?R)．
(1) 若直线x?y?m?0对任意的m?R都不是曲线y?f(x)的切线，求a的取值范围； (2) 设g(x)?|f(x)|,x?[?1,1],求g(x)的最大值F(a)的解析式．
点拨 （1）求曲线y?f(x)的切线的斜率就是对f(x)的求导，其导数值不能取到已知直线的斜率?1；
（2）g(x)是偶函数，只须求g(x)在[0,1]上最大值.
解 （1） ∵f?(x)?3x2?3a??3a,∴要使直线x?y?m=0对任意的m?R总不是曲线
y?f(x)的切线，当且仅当?1??3a,∴a?.
31 （2）因g(x)?|f(x)|?|x3?3ax|在[?1,1]上为偶函数,故只求在[0,1]上最大值, ①当a?0时,f?(x)?0,f(x)在[0,1]上单调递增且
f(0)?0,∴g(x)?|f(x)|?f(x),∴F(a)?f(1)?1?3a.
② 当a?0时,f?(x)?3x2?3a?3(x?a)(x?a).
若当a?1,即a?1时,f?(x)?0,f(x)在[0,1]上单调递减,且f(0)?0,所以在[0,1]上
f(x)?0,所以g(x)?|f(x)|??f(x),?f(x)在[0,1]上单调递增，此时F(a)??f(1)?3a?1.
若当0?a?1,即0?a?1时，g(x)?|f(x)|在[0,a]上单调递减，在[a,1]上单调递增.
1?当f(1)?1?3a?0,即?a?1时，g(x)?|f(x)|??f(x)在[0,a]上单调递增，在[a,1]上
31单调递减，故F(a)??f(a)?2aa. 2?当f(1)?1?3a?0,即0?a?时，
31（ⅰ）当?f(a)?f(1)?1?3a即0?a?114时, F(a)?f(1)?1?3a.
1（ⅱ） 当?f(a)?f(1)?1?3a即?a?时，F(a)??f(a)?2aa. 43?1?3a(a?14)??综上F(a)??2aa(14?a?1).
?3a?1(a?1)??易错点 本题第二问分类讨论比较多，计算量也很大，考虑不周都会产生错误.
变式与引申7： 已知函数f(x)?ax?3x?6ax?11，g(x)?3x2?6x?12，和直线
32m:y?kx?9，又f?(?1)?0.
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（1）求a的值；
（2）是否存在k的值，使直线m既是曲线y?f(x)的切线，又是y?g(x)的切线；如果存在，求出k的值；如果不存在,说明理由．
本节主要考查 （1）函数的解析式和函数的图象，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等函数性质；（2）结合图象，直观地反映函数的性质，考查了数形结合的思想和基本的作图、运算、分析等解题能力；（3）零点和二分法体现了函数和方程的关系；（4）考查了用导数作为工具求曲线的切线和函数的最值等思想方法.
点评 （1）数形结合函数的性质是高考考查的重点内容．解决一些函数单调性和奇偶性，对称性等要从数形结合的角度去认识，以形辅数，以数画形，化抽象为直观；（2）要充分利用导数这一工具，结合函数的一些思考方法解决函数中的如求最大值和最小值等问题；（4）重视计算能力，画图能力及分类讨论的思想方法.
习题1—4
1. 已知[x]表示不超过实数x的最大整数,g(x)?[x]为取整函数,x0是函数
f(x)?lnx?的零点，则
x2
g(x0)等于( ).
D.4
A.1 B.2 C.3
2. 设函数f(x)???cos?x,x?04，则f(?)的值为__________.
3?f(x?1)?1,x?02f(x)?ln(x?2)?x?bx?c.在点x=1处的切线与直线3x?7y?2?0垂直，3．已知函数
且f（－1）=0，求函数f(x)在区间[0，3]上的最小值. 4．已知函数f(x)?x2?(a?1)x?lg|a?2|(a?R,a??2)
（1）若f(x)能表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)的和，求g(x)和h(x)的解
析式；
2（2）命题P：函数f(x)在区间[(a?1),??)上是增函数；
命题Q：函数g(x)是减函数 如果命题P、Q有且仅有一个是真命题，求a的取值范围； 5．（2011年高考北京卷。文）已知函数f(x)?(x?k)e.
（Ⅰ）求f(x)的单调区间；
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