整式F(x)除以x-a的余式为r(x),则F(x)?(x?a)?g(x)?r(x) 故r(a)?F(a)成立
三、多项式的因式分解
把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解，常用的方法有 1、 提取公因式法，例如：ax?ay?a(x?y)等 2、 公式法，（乘法公式从右到左，即为因式分解公式）。
例如：9x?6x?1?(3x?1), 4a?25b?(4a?5b)(4a?5b)等 3、 求根法 若方程a0x?a1xnnn?12222?....?an?0有n个根x1,x2,....,xn ?...?an?a0(x?x1)(x?x2)...(x?xn)
2则多项式a0x?a1xn?14、 二次三项式的十字相乘法，例如x?3x?2?(x?1)(x?2) 5、 分组分解法 例如：
ax?3by?3ay?bx?(ax?bx)?(3ay?3by)..........分两组 ?x(a?b)?3y(a?b)...............提公因式?(a?b)(x?3y).......................提公因式6、待定系数法
例如：将2x?5xy?12y?10x?37y?28因式分解 分析：这个多项式的二次2x?5xy?12y可分解为
22222x2?5xy?12y2?(2x?3y)(x?4y)
所以可设 原式?(2x?3y?m)(x?4y?n)其中m,n为待定常数，然后利用恒等式的性质，解方程 可求出m=-4 , n=7 所以原式?(2x?3y?4)(x?4y?7)
四 分式及其运算
A的式子叫做分式，其中A和B均为整式，B中含有字母，B的值不Bx?2能为零，例如 是分式。
2x?31、分式：形如
2、最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简化分式 3、分式的基本性质：
AA?MAA?M ；?（M为不等于零整式） ?BB?MBB?M4、分式的运算
（1）加减法，同分母的几个分式相加减，分母不变，分子相加减，注意最后结果要约分化为最简分式，不同分母的的分式相加减，先通分化为同分母后，再进行加减运算。
（2）乘除法
acacb?d?bd ，
acb?d?adadb?c?b c分式的加法与乘法运算满足交换律，结合律和分配律。
（乙）典型例题 一、整式及其运算
1、求F(x)?x3?2x2?3x?5，除以g(x)?x2?x?2的商式和余式 解：用竖式做除法
x?3x2?x?2x3?2x2?3x?5 x3?x2?2x 3x2?x?5 ３x2?3x?6 2x?1
得商式g(x)?x?3,余式r(x)?2x?1
2、如果x+1 整除x3?m2x2?3mx?3，则m= ( ) （A） -1或-2 （B）-1或2 （C） 1或-2
（D） 1或2 （E）-2或2
解，由己知 x3?m2x2?3mx?3?(g)x(?x 1)方程两边取x=-1,则m2?3m?2?0解得m?1或m?2答案选D 3、若x2?2x?a被x?3除，余式为-5，则a = ( ) （A）-9 （B）-8 （C）7 （D）8 （E）9 解；由已知x2?2x?a?g(x)(x?3)?(?5) 令x=-3, 则得9-6+a=-5得a=-8答案选B
4、多项式3x4?x3?9x2?3x?2， 的因式分解为(3x?1)g(x),则g(x)等于（
）（A）(x?2)(x?1) （B）(x?2)(x?1)（C）(2x?1)(x?2) （D）(2x?1)(x?2)（E）(2x?1)(x?2) 解：
22222f(x)?3x4?x3?9x2?3x?2，用竖式除法计算
3f(x) 3x?1可得g(x)?x?3x?2，当x?2时g(2)?8?6?2?0即B和D均不等于g(x)， 当x??2时g(?2)?(?2)?3(?2)?2?0即x?2/g(x) 从而可得g(x)?(x?2)(x?2x?1)?(x?2)(x?1)故答案选A
5、在实数范围内将下列多项式分解因式 （1）12xy?36xy?27y （2）6x?x?15
（3）16ax?16bx?9a?9b （4）x?x?5x?3
解（1）原式?3y(4x?12xy?9y)?3y(2x?3y) (2)十字相乘法
?32222322232222２ ?３２?３＝６??３?５ ３（?-５） ?9?10?3?3?2?(?5)??1?2
所以 6x?x?15?(2x?3)(3x?5)
（3）16ax?16bx?9a?9b =16x(a?b)?9(a?b)
=(a?b)(16x?9)?(a?b)(4x?3)(4x?3) （4）x?x?5x?3
=(x?3x)?(2x?6x)?x?3?x(x?3)?2x(x?3)?(x?3) =(x?3)(x?2x?1)?(x?3)(x?1)
2232222222326、无论x,y取何值，x?y?4x?6y?15的值都是（ ） （A）正数（B）负数（C）零（D）非负数（E）非正数 解；原式?x?4x?4?y?6y?9?2?(x?2)?(y?3)?2 从而无论x,y取何值，都有(x?2)(y?3)?2?0，答案是A 7、（充分性判断）
222222222x2?5xy?2y2?3x?2?(2x?y?m)(x?2y?n)
（1）m??1,n?2 （2）m?1,n??2 解：由条件（1）m??1,n?2 代入题干右端
(2x?y?1)(x?2y?2)?2x2?5xy?2y2?3x?2 条件（1）不充分
由条件（2）m?1,n??2代入题干右端
(2x?y?1)(x?2y?2)?2x2?5xy?2y2?3x?2 条件（2）充分
所以答案选B 8、（充分性判断）x-3是多项式
f(x)?x3?x2?ax?b的因式
（1）a?4,b??6 （2）a?5,b??3 解：若x-3是f(x)的因式，即f(x)?(x?3)g(x) 因此，f(3)?3?3?3a?b?0即必有18?3a?b?0 验证条件（1）与（2）都充分，答案选D
9（充分性判断）M?N?4abc
（1）M?a(b?c?a)?b(c?a?b)?c(a?b?c) （2）N?(b?c?a)(c?a?b)(a?b?c)
解：条件（1）和（2）单独显然都不充分，下面将（1）和（2）联合起来考虑
因为M和N都是关于a,b,c的三次齐次式，所以M+N也必为关于a,b,c的三次齐次式，当a?0,时M+N=0
当b?0时M+N=0；当c?0时 M+N=0故a,b,c都是 M+N的因式，所以M?N?kabc成立
22232将a?b?c?1代入M?N?kabc中，得
k?4所以M?N?4abc成立
故此题应选C 二、分式及运算
x2?3y2?6z210、已知x?2y?6z?0,2x?y?2z?0则2的值为（ ）
2x?4y2?z2（A）1 （B）
1124 （C） （D） （ E） 2357解：由知x?2y?6z?0,2x?y?2z?0 解得x?2z,y??2z
x2?3y2?6z24z2?12z2?6z210z22???答案是D 于是22222222x?4y?z8z?16z?z25z511、已知 x?11?4则 x4?4?（ ） xx（A）184 （B）188 （C194 （D）196 （E）198
解：由已知 (x?所以 x?12、已知
42111242，即，)?16x??14(x?)?196
x2x4x21?194故应选,C 4x113x?2xy?3y??4,则? （ ） xyx?2xy?y（A） 4 （B）5111 （C）5 （D）6 （ E）7 2333311?2?3(?)?23x?2xy?3yy3x(?4)?2xyx解： ????7
1111x?2xy?y?4?2?2?(?)?2yxyx故应选E
13：（充分性判断）f(x)?3
3x2?3x?42f(x)?x?4x?9 （1）f(x)? （2）2x?x?13x2?3x?41解：由条件（1）f(x)? ?3?x2?x?1x2?x?1