??0
??b?4ac ax?bx?c?0的
解（a?0）
22??0 ??0
x1,2??b?? 2ax1?x2??b 2a无实根
ax2?bx?c?0的
解（a?0）
x?x1或x?x2
x??无解
b 2a(??,??)
无解
ax2?bx?c?0的
解（a?0）
x1?x?x2
y?ax2?bx?c和
图像（a?0）
五、含有绝对值符号的不等式
解法的关键：化去绝对值符号（a?0） 1、
f(x)?a??a?f(x)?af(x)?a?f(x)??a或f(x)?a22
2、(f(x))?a?(f(x)) 3、f(x)???f(x) f(x)?0
?f(x) f(x)?0 ?
（二）、典型例题
一、方程和方程组，有关例题
1、某工程甲独干需a天完成,乙独干需b天完成，则甲，乙合干需几天完成？ 解：设工程总量为W,甲独干一天完成于是甲，乙合干完成工程的天数为
WWWW，乙独干一天完成，甲，乙合干一在完成+ababWW(a?b)WabW?(?)?W?? .....(3.1)
ababa?b注：例如：某工程甲独做需15天完成，乙单做需10天完成，问甲，乙合作需几天完成？ 解：此题可用公式（3.1），a?15天，b=10天 有：
ab15?10??6(天) a?b15?10故甲，乙单做需6天完成。 2、解下列方程或方程组 （1）
2x?1x?3 ?1?3422（2）3(x?1)?(2x?1)(x?1)?16?3x?x
?2x?3y??5 ?3x?2y?12?解：（1）去分母，原方程化为
4(2x?1)?12?3(x?3)8x?4?12?3x?95x?25x?5（2）原方程化简：
3(x2?2x?1)?(2x2?x?1)?16?3x?x2x2?5x?4?16?3x?x22x?12x?6（3）
?2x?3y??5 ① ??3x?2y?12 ②2?① 4x?6y??10③ 3?② 9x?6y?36④
③+④ 13x?26?x?2代入② 得 6+2y=12?y?3
原方程组的解为??x?2
?y?3注：（3）解法为加减消元法，还可用代入消元法等解法。 3、两地相距351公里，汽车己行驶了全程的
1，试问再行多少公里，剩下的路程是已行驶9的路程的5倍？答案为（ ）公里
（A）19.5 （B）21 （C）21.5 （D）22.5 （E）20 解：设还要行驶x公里，由题意有
118351??x?(?351?x)959 5(39?x)?312?xx?19.5故答案是A
4、李先生以一笔资金投资于甲，乙两个企业，若从对甲企业的投资额中抽回10%,从对乙企业的投资额中抽回5%，则李先生总投资减少8%，若从对甲，乙企业的投资额中各抽回15%和10%，则投资额减少130万元，问李先生这笔资金有多少万元？
解：设原投资甲企业x万元，投资乙企业y万元，则资金总数为（x?y）万元。 依题意有
?10%x?5%y?8%(x?y) ?15%x?10%y?130?
化简为
?2x?3y?0 ① ??3x?2y?2600 ②3y ③ 213将③代入②得 y?2600?y?400,x?600
2由①得 x?所以x?y?600?400?1000(万元) 答：李先生这笔资金共1000万元
5、（2008）若用浓度30和20%的甲，乙两种食盐溶液配成浓度为24%的食盐溶液500克，则甲，乙两种溶液各取（ ）
（A）180克和320克 （B）185和315克 （C）190克和310克 （D）195克和305克 （E）200克和300克 解：设甲，乙两种溶液应各取x和y克。 据题意，列方程组
?30%x?20%y?24%(x?y)① ?x?y?500②?化简 ① 30x?20y?24(x?y)
2y ③ 32③代入② y?y?500?y?30 032 x?y?200 解得x?200,y?300
3 x?故答案选E
注：关于浓度问题：一定量的溶液，当溶液，溶剂或溶液量发生变化时，讨论溶液浓度变化等问题，一般地，溶液量=溶质+溶剂量，而
浓度?溶质
溶质?溶剂6、甲，乙两人在400M的跑道上参加长跑比赛，甲乙同时出发，甲跑3圈后，第一次遇到乙，如果甲的平均速度比乙的平均速度快3M/S，则乙的平均速度为（ ） （A）5M/S （B）6M/S （C）7M/S （D）8M/S （E）9M/S 解：设乙的平均速度为xm/s，依题意有
400?3400?2 ?x?3x解得 x?6(m/s)故本题应选B
7、甲，乙两列火车对开时，甲比乙先出发1h，甲，乙分别行驶了225km，75km后相遇，已知甲，乙两列火车的速度和为300km，则乙车出发后（ ）h与甲车相遇。 （A）
31133 （B） （C） （D） （E）
22442解：设乙车出发后xh与甲车相遇，则得
22575??300 x?1x整理后得一元二次方程，100x?25 解得 x1?211或x2??(舍去) 22故乙车出发后
1h后与甲车相遇，故本题应选A 2注：例6，例7均可归结为行程问题：甲，乙速度不同，有一定距离，相向或相反运动，讨论甲和乙的速度，距离，相遇时间等数量之间的关系问题。 解题材的关键是灵活运用“距离=速度?时间”这一公式。 8、x1,x2是方程x?2x?1?0的两个根，求下列各式的值。 （1）x1?x2 （2）
222x2x1? （3）x13?x23 x1x2解：由韦达定理知x1?x2?2,x1?x2??1
（1）x1?x2?(x1?2x1x2?x2)?2x1x2
=(x1?x2)?2x1x2?2?2(?1)?6
222222x2x1x12?x226?????6 （2）
x1x2x1x2?1(3)x13?x23?(x1?x2)(x12?x1x2?x12)2?(x1?x2)??x1?x2??3x1x2????2?4?3(?1)?
?149商店委托搬运送500只瓷花瓶，双方商定每只花瓶运费0.50元，若搬运中打破一只，则不但不计运费，还要从运费中扣除2.00元，已知搬运队共收到240元，则搬运中打破花瓶的只数为（ ）
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5 （E）6 解：设在搬运中打破x只花瓶，依题意列方程
0.5?(500?x)?2x?240250?0.5x?2x?240x?4故答案选C
10、解下列方程
（1）logx25-3log25x?log（2）21?x
x5?1
?33?2x??22?1?0
解（1）
logx25log255?3log25x??1①
log25xlog25x令log25x?t,代入①式得?3t??1
1t1t3t2?t?2?0整理 (3t?2)(t?1)?0
2t1?或t2??1322log25x??x1?253?5353
1log25x??1?x2?25?1?25