现代控制理论基础
证：设B(λ)为(λI-A)的伴随阵,即:
(?I?A)?1?B(?)B(?)?|?I?A|f(?)考虑到B(λ)也为n×n矩阵,各元素的最高次数不大于n-1，故：
B(?)??n?1Bn?1??n?2Bn?2????B1?B0式中B0、B1、…Bn-1为n×n常系数矩阵，由于：
B(?)(?I?A)?If(?)B(?)(?I?A)?f(?)?I(?n?1Bn?1??n?2Bn?2????B1?B0)(?I?A)?(?n?an?1?n?1???a1??a0)I
比较系数：
Bn?1?IBn?2?Bn?1A?an?1IBn?3?Bn?2A?an?2I?B0?B1A?a1I?B0A?a0I上式分别右乘An、An-1、…A、I，得：
Bn?1An?AnBn?2An?1?Bn?1An?an?1An?1Bn?3An?2?Bn?2An?1?an?2An?2?B0A?B1A2?a1A?B0A?a0I相加后，得：
f(A)?An?an?1An?1???a1A?a0I?0 41
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2）凯莱-哈密尔顿定理的应用
m设A∈Rn×n，计算g(A)???kAk（m≥n）的值。
若
g(?)?k?0??k?k?q(?)f(?)?r(?)mk?0 mk则 g(A)???kA?q(A)f(A)?r(A)其中： k?0q(λ)为一多项式,
f(?)?|?I?A|??n?an?1?n?1???a1??a0r(?)??n?1?g(A)?r(A)??n?1An?1n?1????1???0?n?1k?0??k?kn?1????1a??0I?k?0k?A?k
设λ1、λ2、…λn为A的特征值，根据：
g(?)?k???k?q(?)f(?)?r(?)mk?0g(?i)?r(?i)可以求出α1、α2、…αn。
说明关于A的一个任意次幂的多项式总可以用另一个A的多项式来表示,其最高次幂不大于n-1.
例如: n?1Am?k?0??kAkn?1m?neAt?k?0??k(t)Ak 42
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例：已知：
?14?A????32?求A1010
解：|λI-A|=0，得A的特征值λ1=5，λ2=-2 设A1010=α0I+α1A
?11010??0??1?1?21010??0??1?2即：
51010??0??15(?2)1010??0??1(?2)171?1?(51010?21010)7??0I??1A?0?(2?51010?5?21010)A10101?3?51010?21012??10107??3?21010?3?54?51010?21012??4?51010?3?21010??
3）用待定系数法求φ(t)
设λ1、λ2、…λn为A的n个互异特征值，
?(t)?eAt??0I??1A??2A2???n?1An?1则：
e?1t??0??1?1??2?12???n?1?1n?1e?2t??0??1?2??2?22???n?1?2n?1?e?nt??0??1?n??2?n2???n?1?nn?1从中可求出α1、α2、…αn。
若λi为l重特征值，则相应的l个方程为：
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e?it??0??1?i??2?i2????n?1?in?1d?ite??1?2?2?i???(n?1)?n?1?in?2d?i?d(l?1)d?i(l?1)e?it??l?1(l?1)!??ll!?i????n?1(n?1)!n?l?i(n?l)!例：
?00?2??A??010????103??求φ(t)。
解：
det(?I?A)?0?(??1)2(??2)?0??1?1,?1?1,?3?2令：
?(t)?eAt??0I??1A??2A2则：
et??0??1??2tet??1?2?2e2t??0?2?1?4?2?0??2tet?e2t?1?3tet?2et?2e2t?2??tet?et?e2t
?(t)?eAt??0I??1A??2A2?(?2tet?e2t)I?(3tet?2et?2e2t)A?(?tet?et?e2t)A2?2et?e2t???0??et?e2t?0et02et?2e2t??0?t2t??e?2e?
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4：利用线性变换计算φ(t) a）若A?P?1AP或 PAP?1A?则：
eAt?PeAtP?1证：…
b）若 A?diag(?1?2??n)则：
?t?t?tAte?diag(ee?e)
例：
12n10??0?A??001?????6?11?6??11??1?P???1?2?3???49??1?0???10?A?P?1AP??0?20???0?3??0?
P?151??61????6?8?2?2??31??2??e?t00???eAt?PeAtP?1?P?0e?2t0?P?1?00e?3t???5?t1?t?2t1?3t???t?2t?3t?2t3?3t3e?3e?ee?4e?ee?e?e??2222??5?t1?t?t?2t?3t?2t9?3t?2t3?3t???3e?6e?3e?e?8e?e?e?2e?e?2222???3e?t?12e?2t?9e?3t5e?t?16e?2t?27e?3t1e?t?4e?2t?9e?3t???2222??
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