现代控制理论基础
2）一般情况下，在A的n个特征值λ1、λ2、…λn中，有n-m个互不相同，有m个为重特征值，此时，可A 化为约当阵。
对于互不相同之特征值，特征向量pi由A pi=λi pi确定； 对于m重特征值λj，其相应的约当块为：
??j??????1?j?????1???j??m?m相应的变换矩阵部分为：
??pj,pj?1,?pj?m?1,??其中，特征向量pj由A pj=λj pj确定；广义特征向量pj+1、
pj+2、…pj+m-1、由下式确定：
λj pj+1+pj= A pj+1 λj pj+2+pj+1= A pj+2 …
λj pj+m-1+pj+m-2= A pj+m-1
例：设：
?06?5??A??102????324??特征值λ1=2、λ2=λ3=1，试化A为约当阵。
解：由λ1 p1=A p1得：p1=[2，-1，-2]T
由λ2 p2=A p2得：p2=[1，-3/7，-5/7]T 由λ2 p3+p2=Ap3得：p3=[1，-22/49，-46/49]T
??2?P??p1,p2,p3????1???2??251 ?J?P?1AP???0??013?75?700?11??01???1?22???49?46??49??
现代控制理论基础
f） 模式矩阵
当矩阵A出现共轭复数根λ1、2=σ±jω时，可将A化为模式矩阵。
如A为2×2矩阵，λ1、2=σ±jω，由λ1q1=A q1求出与λ1相对应A的特征向量q1=α1+jβ1。
则P=[α1，β1]可使M=P-1AP成为模式矩阵，即：
????M?P?1AP????????模式矩阵M对应的状态转移矩阵为：
?cos?tsin?t?eMt?e?t???sin?tcos?t??
1??0A??52 ???2?2?现代控制理论基础
例：
特征值为λi=-1±j，特征向量为：
一般情况，如A有m个互不相同的特征值λ1、λ2…λm和k组复数特征值λi=σi±jωi，（m+2k=n），利用：
?1q????1???1?????j????1??0?j???1??10???11?P??M?????11?1?1??????1?????????m?1M?PAP???M1???????Mk????P=[p1，p2，…pm，α1，β1…αk，βk]，可将A化为：
假定第j个复数特征值是r重根，且与其对应的独立特征向量为一个，则模式矩阵中相应的部分为：
?Tj??????ITj??I??I??Tj??2r?2r??j?j?Tj??????jj???10?I????01?而P中相应的部分由特征向量及广义特征向量的实部和虚部组成。
例如A为4×4矩阵，λ1、2=σ±jω为重根，与λ1相对应的特征向量q1=α1+jβ1，广义特征向量q2=α2+jβ2。则：P=[α1、β1、α2、β2]
?e?1t???????????????????Mkte???e?mt53
e
MteM1t现代控制理论基础
?TM??1?0I?T1??eMt?eT1t???0teT1t??eT1t??e?tcos?te?tsin?te?tcos?tte?tsin?t???t??t?t?t?esin?tecos?t?tesin?tecos?t????t?t?00ecos?tesin?t????t?t00?esin?tecos?t????
2-3线性定常系统非齐次状态方程的解
??Ax?Bux可用两种方法来求解
1：积分法
??Ax?Bux??Ax?Bux??Ax)?e?AtBue?At(x由于：
d?At??e?At(x??Ax)[ex]??Ae?Atx?e?Atxdt故：
d?At[ex]?e?AtBudttd?At?At[ex]dt?ex(t)?x(0)?0dt??e?A?Bu(?)d?0ttx(t)?ex(0)??eA(t??)Bu(?)d?At0即：
x(t)??(t)x(0)???(t??)Bu(?)d?0tt??(t)x(0)???(?)Bu(t??)d?0 54
现代控制理论基础
2：拉普拉斯变换法
??Ax?Bux两边拉氏变换，得：
例：
)?x(0)?AX(s)?BU(s)?1??0sX(s1??x1??0??x?1u,u(t)?1(t)?1??X(s)??(??x?????sI?A)x(0)?(sI?A)BU(s)??2???2?3??x2??1?tx(t)??(t)x(0)???(t??)Bu(?)d?0??(t)x(0)???(?)Bu(t??)d?0t试求x(t)。 解：
?2e?t?e?2t?(t)???t?2t??2e?2et0e?t?e?2t???e?t?2e?2t?x(t)??(t)x(0)???(?)Bu(t??)d??2e???e?2?e???e?2???0???(t)x(0)???1d????2????0?2e???2e?2?1?e?2e??????t1?2t1??e?e????(t)x(0)??22???t?2te?e??t给定初始条件 x(0)即可求出x(t)。
2-4 线性时变系统的运动分析
如果线性系统含有随时间而变的系数，称为线性时变系统，动态方程描述如下：
??A(t)x?B(t)u?x??y?C(t)x?D(t)u一：线性时变系统齐次状态方程的解 设其解为： x?A(t)x,x(t)?x(t)t?t00
x(t)??55 (t,t0)x(t0)