现代控制理论基础
c）若 A?J?diag(JJ?J)12l其中：
??i?0?Ji??0????01?i000?1?0???i?0????0??i???0则：
其中：
eAt?eJt?diag(eJ1t??it?e??0??0???0?te?ite?it00eJ2t?eJlt)12?itte2!te?ite?it?0??????????e?it???eJit
例：
2?1??2?A???1?11?????1?22???0?10????12?1????0?11???111??P???100?????101???110??A?P?1AP??010????001??P?1
eAt?PeAtP?1?(t?1)et????tet??tet?
?et??P?0?0?tetet02tet(?2t?1)et?2tet0???10?Pet???tet??tet?(t?1)et??46
现代控制理论基础
d） 化矩阵A为对角线矩阵
对于矩阵A，称|sI-A|为矩阵A的特征多项式。 |sI-A|=0为其特征方程式。 特征方程式的根λ1、λ
（λiI-A）pi=0或： 2、…λn即为A的特征值。若：
λipi= Api ，称pi为与λi相对应的A的特征向量。 下列几种情况，可将A化为对角阵
1）如果矩阵A 具有如下标准形式：
10?0??0?0?01?0???A?????000?1?????a0?a1?a2??an?1??且A的n个特征值λ1、λ2、…λn互不相同，则利用范德蒙特矩阵P，可使成A?P?1AP为对角阵。
11?1??1???????23n?1??1P???12?22?32??n?12?????????n?1n?1n?1n?1???????23n?1?1?2）如果A有n个特征值λ1、λ2、…λn互不相同，则：P=（p1 ，p2 ，…pn ），其中pi为与λi相对应的A的特征向量，可使成为A?P?1AP对角阵，即：
??1????2?A?P?1AP????????n??
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现代控制理论基础
例：
?21?A????12????2?1?|?I?A|?det???2?4??3?0???1??2???1?1,?2?3设对应与λ1的特征向量为：
?p?p1??11??p12?Ap1??1p1?p11?p12?0?1??p1?????1?设对应与λ2的特征向量为：
?p?p2??21??p22?Ap2??2p2?p21?p22?0?1??p2????1?故：
?11??11?1?1?P??p1,p2????,P?2?11??11????1?1?1??21??11??A?P?1AP??????2?11???12???11??10????03??3）如果矩阵A虽有相重之特征值，但由λipi= Api 可解
出n个独立的特征向量，则P=（p1 ，p2 ，…pn ），可使成A?P?1AP为对角阵。 例：
?2A???1???112?1?1??1??2???I?A?0?3?6?2?9??4?0?1??2?1,?3?448
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设对应与λ1、λ2的特征向量为：
?p11??0??1??,Ap??p?p?p?p?0?p??1?,p??0?p1??p111112131??2?12?1??????p13???1???1??对应与λ3的特征向量为：
?p31??1??,Ap??p?p??1?p3??p323333???????p33????1??故：
?011??P??p1,p2,p3???101????11?1???100??A?P?1AP??010????004??e） 化矩阵A为约当标准形
下列情况下，可将矩阵A化为约当标准形 1）如果矩阵A 具有如下标准形式：
?0?0?A????0???a0100?a1010?a2??????0????1??an?1??0且A的特征值λj为k重根，此时与λj相对应的约当块为：
??j??????1?j?????1???j??k?k
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现代控制理论基础
范德蒙特矩阵P中对应部分变为：
??dpjd2pjdk?1pj??,pj,,,?,??2k?1d?jd?j??d?j??
其中：
?1?????j?pj???j2????????n?1??j?例如：
?0?0?A??0??0???a01000?a10100?a20010?a30?0??0??1??a4??
其特征值为λ1、λ1、λ1、λ2、λ2，此时：
?1???1P???12?3??14???1012?100213?126?14?1312?12?2?22?23?240?1??2?2??3?22?4?23??
而：
??1?0??1A?PAP?J??0??0??0
50
101000?1000?100?200?0??0??1??2??