现代控制理论基础
式中为状态转移矩阵，求法如下： 根据?(t,t)初始条件，易得：
0
?(t0,t0)?I?(t,t)x(t)???x00?A(t)x?A(t)?(t,t0)x(t0)得：
?(t,t)?A(t)?(t,t)?00两边积分：
?(t,t0)??(t0,t0)??A(?)?(?,t0)d?t0tt?I??A(?)?(?,t0)d?t0t?I??A(?)[I??A(?1)?(?1,t0)d?1]d?t0tt0??I??A(?)d???A(?)?A(?1)d?1d???t0t0t0t?当矩阵A(t)的所有元素在积分区间内有界时,该级数
是收敛的,但得不到闭合形式的解,该级数称为皮诺-拜克尔级数。
例：求下列时变系统的状态转移矩阵
?01????xx,t0?0??0t?解：
?01?A(t)????0t??0t?0A(?)d???0??t?12?t?2?
13??0t?t??6??0A(?)?0A(?1)d?1d???14?0t??8??13??1t?t??56 ??6?(t,0)???1214?01?t?t???28??现代控制理论基础
在一定的条件下，状态转移矩阵有如下闭合形式：
?(t,t0)?ett0t?t0A(?)d??I??A(?)d??1t1t[?A(?)d?]2?[?A(?)d?]3??2!t03!t0根据上式：
?(t,t)?A(t)??0tt1[A(t)?A(?)d???A(?)d?A(t)]??t0t02!t1tA(t)?(t,t0)?A(t)[I??A(?)d??(?A(?)d?)2??]t02!t0而状态转移矩阵应满足：
?(t,t)?A(t)?(t,t)?00
得：
tt0?(t0,t0)?IA(t)?A(?)d???A(?)d?A(t)t0t?tt0A(t)A(?)d???A(?)A(t)d??0t0tA(t)A(?)?A(?)A(t)结论：对于任意的t1、t2，若A(t1)A(t2)= A(t2) A(t1)成立，则：
?(t,t0)?ett?t0A(?)d?1t1t2?I??A(?)d??[?A(?)d?]?[?A(?)d?]3??t02!t03!t0例如A(t)为对角矩阵或常数矩阵时，满足上述条件。
例：
1??0A(t)??(t?1)2???00??由于A(t1)A(t2)= A(t2) A(t1)，且：
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t?t0??0(t?1)(t0?1)??t0A(?)d?????00??t[?A(?)d?]k?0,k?2,3,?t0t故：
?(t,t0)?ett?t0A(?)d?1t1t[?A(?)d?]2?[?A(?)d?]3??t02!t03!t0t?t0??1??(t?1)(t0?1)???01???I??A(?)d??
线性时变系统的状态转移矩阵具有如下性质：
?(t,t)?A(t)?(t,t)?(t,t)?I1:?00002:?(t2,t1)?(t1,t0)??(t2,t0)3:?(t1,t0)???1(t0,t1)4:??(t,?)???(t,?)A(?)??在2式中对t1求导，可得4式。
二：线性时变系统非齐次状态方程的解 设线性时变系统非齐次状态方程为：
??A(t)x?B(t)ux其解为：
x(t)??(t,t0)?(t)显然：
?(t0)?x(t0)且有：
?(t,t)?(t)??(t,t)??(t)?(t)??x00?A(t)x(t)?B(t)u(t)?A(t)?(t,t0)?(t)?B(t)u(t) 58
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考虑到：
?(t,t)?A(t)?(t,t)?00得：
?(t)?B(t)u(t)?(t,t0)??(t)???1(t,t)B(t)u(t)?0?(t)??(t0)????1(?,t0)B(?)u(?)d?t0tx(t)??(t,t0)?(t)??(t,t0)[?(t0)????1(?,t0)B(?)u(?)d?]t0t??(t,t0)x(t0)???(t,?)B(?)u(?)d?t0t
三：控制系统的输出
对于线性定常系统，其输出为：
y(t)?C?(t?t0)x(t0)?C??(t??)Bu(?)d??Du(t)t0t
对于线性时变系统，其输出为：
y(t)?C(t)?(t,t0)x(t0)?C(t)??(t,?)B(?)u(?)d??D(t)u(t)t0t
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2-5线性系统的脉冲响应矩阵
一：线性时变系统的脉冲响应矩阵 定义：线性时变系统的输出为：
y(t)?C(t)?(t,t0)x(t0)?C(t)??(t,?)B(?)u(?)d??D(t)u(t)t0t假设初始条件为零，输入信号中，ui(t)为单位脉冲信号,其余的输入信号为零。即：
u(t)?ei?(t??)?0???????0?ei??1??i位置?0????????0??则输出为：
yi(t)?C(t)??(t,?1)B(?1)ei?(?1??)d?1?D(t)ei?(t??)t0t?C(t)?(t,?)B(?)ei?D(t)ei?(t??)?hi(t,?),(t??)定义：
H(t,?)?[h1(t,?),h2(t,?),?hr(t,?)]?[C(t)?(t,?)B(?)e1,C(t)?(t,?)B(?)e2,?C(t)?(t,?)B(?)er]?[D(t)e1,D(t)e2,?D(t)er]?(t??)?C(t)?(t,?)B(?)?D(t)?(t??)即：
?C(t)?(t,?)B(?)?D(t)?(t??)t??H(t,?)??0t???上式即为线性时变系统的脉冲响应矩阵。
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