现代控制理论基础
二：线性定常系统的脉冲响应矩阵 线性定常系统的脉冲响应矩阵定义为：
?C?(t??)B?D?(t??)t??H(t??)??0t???当τ=0时，有：
?C?(t)B?D?(t)t?0H(t)??0t?0?
三：传递矩阵与脉冲响应矩阵的关系 对H(t)进行拉氏变换，得：
H(s)??H(t)e?stdt?C(sI?A)?1B?D?G(s)0?上式说明在拉氏变换中，脉冲响应矩阵和传递矩阵分别为原函数和象函数。脉冲响应矩阵既可以由定义求得，也可以对传递矩阵进行拉氏反变换求得。 例：
?0?x???0?1y???01??0?x???u2???1?0?x1??求脉冲响应矩阵
解： 1??1?1?ss(s?2)??s?1? (sI?A)?1??????10s?2?? ?0??s?2???
1??2t? 1(1?e)??1?1?(t)?L(sI?A)??2?0??2t e??
?1?2t?(1?e)? H(t)?C?(t)B??2?e?2t? ??也可以利用传递矩阵的拉氏反变换求得。
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四：利用脉冲响应矩阵计算控制系统的输出 设：
u(t)??u(?)?(t??)d?t0t则：
y(t)?C?(t?t0)x(t0)?C??(t??)Bu(?)d??Du(t)t0ttt?C?(t?t0)x(t0)?C??(t??)Bu(?)d??D?u(?)?(t??)d?t0t0?C?(t?t0)x(t0)??[C?(t??)B?D?(t??)]u(?)d?t0tt?C?(t?t0)x(t0)??H(t??)u(?)d?t0
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2-6连续系统动态方程的离散化
一：线性定常系统动态方程的离散化 设线性定常系统的动态方程为：
??Ax?Bu?x??y?Cx?Du在kT≤t<(k+1)T时，u(t)=u(kT)， 初始状态为:
x(t)t?kT?x(kT)则在kT≤t<(k+1)T：
x(t)??(t?kT)x(kT)???(t??)Bu(?)d?kTtx[(k?1)T]??(T)x(kT)??(k?1)TkT?[(k?1)T??]Bu(kT)d?令：
G??(T)H??T0(k?1)TkT?[(k?1)T??]Bd?T0???[T??]Bd????(?)Bd?则线性定常系统的离散化动态方程为：
?x(k?1)?Gx(k)?Hu(k)??y(k)?Cx(k)?Du(k)例：线性定常系统的状态方程为：
1??0?0????xx???1?u?2?3????设采样周期T=1秒，试求其离散化状态方程。
解：
?2e?t?e?2t?(t)???t?2t?2e?2e??2e?T?e?2TG??(T)???T?2T??2e?2ee?t?e?2t???e?t?2e?2t?e?T?e?2T??0.60040.2325??????e?T?2e?2T???0.4651?0.0972?
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1?2T??1?T??e?e??0.1998H???(?)Bd???2?2?00.2325?e?T?e?2T??????T?0.60040.2325??0.1998?x(k?1)??x(k)?u(k)?????0.4651?0.0972??0.2325?
二：线性时变系统动态方程的离散化 设线性时变系统动态方程为：
??A(t)x?B(t)u?x??y?C(t)x?D(t)u假定采样时刻为t0、t1、…tk、tk+1、…，在tk-tk+1之间u(t)=u(tk),初始状态为x(tk),则:
x(tk?1)??(tk?1,tk)x(tk)???(tk?1,?)B(?)d?u(tk)tktk?1令:
H(tk?1,tk)???(tk?1,?)B(?)d?tktk?1则:
x(tk?1)??(tk?1,tk)x(tk)?H(tk?1,tk)u(tk)y(tk)?C(tk)x(tk)?D(tk)u(tk)当采样周期T足够小时（通常比系统中最小时间常数小一个数量级），线性时变系统状态方程的离散化可近似处理如下：
1[x(k?1)?x(k)]T??A(t)x?B(t)u中，令t=kT，则： 在状态方程x?(k)?x1[x(k?1)?x(k)]?A(k)x(k)?B(k)u(k)Tx(k?1)?[TA(k)?I]x(k)?TB(k)u(k)
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2-7线性离散系统的运动分析
一：线性定常离散系统动态方程的解 设：
?x(k?1)?Gx(k)?Hu(k)??y(k)?Cx(k)?Du(k)其解可用递推法来求，分别令k=0、1、2、…，得：
x(1)?Gx(0)?Hu(0)x(2)?Gx(1)?Hu(1)?G2x(0)?GHu(0)?Hu(1)?x(k)?Gx(k?1)?Hu(k?1)?Gx(0)??Gk?1?iHu(i)ki?0k?1y(k)?CGx(0)?C?Gk?1?iHu(i)?Du(k)ki?0k?1对于连续系统的离散化动态方程，有：
x(k)??(kT)x(0)???[(k?1?i)T]Hu(i)i?0k?1y(k)?C?(kT)x(0)?C??[(k?1?i)T]Hu(i)?Du(k)i?0k?1
二：状态转移矩阵
对于离散系统，定义状态转移矩阵为：
?(k)?Gk1：状态转移矩阵的性质
(1)?(k?1)?G?(k)?(0)?I(2)?(k2)??(k2?k1)?(k1)(3)??1(k)??(?k)2：状态转移矩阵的计算
?(k)?Gk?Ζ?1[(zI?G)?1z]
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例：
1??0?1?x(k?1)??x(k)?u(k)?????0.16?1??1??1?x(0)???,u(k)?1?1?求x(k) 解：
?(k)?Ζ?1[(zI?G)?1z]1?4kk(?0.2)?(?0.8)?3??30.80.8??(?0.2)k?(?0.8)k3?3k?1i?055?(?0.2)k?(?0.8)k?33?14kk?(?0.2)?(?0.8)?33?x(k)??(k)x(0)???(k?1?i)Hu(i)2225??17kk?(?0.2)?(?0.8)??918???63.416.77?kk?(?0.2)?(?0.8)??6918??三：线性时变离散系统动态方程的解
?x(k?1)?G(k)x(k)?H(k)u(k)??y(k)?C(k)x(k)?D(k)u(k)设初始时刻为k0，初始状态为x(k0),其解存在且唯一,则: 其中称为状态转移矩阵,它满足:
x(k)??(k,k0)x(k0)???(k,i?1)H(i)u(i)?(k,k0)?G(k?1)G(k?2)?(k0)i?kG0
k?1??(k?1,k0)?G(k)?(k,k0)???(k0,k0)?Iy(k)?C(k)?(k,k0)x(k0)?C(k)??(k,i?1)H(i)u(i)?D(k)u(k)i?k0k?1
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