1
是“△OAB的面积为”的( )
2
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件 6．A 12．[2014·湖北卷] 直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________.
12．2 15．、[2014·全国卷] 直线l1和l2是圆x2＋y2＝2的两条切线．若l1与l2的交点为(1，3)，则l1与l2的夹角的正切值等于________．
415. 3
15．[2014·山东卷] 已知函数y＝f(x)(x∈R)，对函数y＝g(x)(x∈I)，定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y＝h(x)(x∈I)，y＝h(x)满足：对任意x∈I，两个点(x，h(x))，(x，g(x))关于点(x，f(x))对称．若h(x)是g(x)＝4－x2关于f(x)＝3x＋b的“对称函数”，且h(x)＞g(x)恒成立，则实数b的取值范围是________．
15．(210，＋∞) 12．[2014·陕西卷] 若圆C的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．
12．x2＋(y－1)2＝1 14．，[2014·四川卷] 设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|2|PB|的最大值是________．
14．5 13．[2014·重庆卷] 已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________．
13．4±15
x2y2
21．，[2014·重庆卷] 如图1-4所示，设椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，
ab
|F1F2|2
F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，＝22，△DF1F2的面积为. |DF1|2
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．
图1-4 21．解：(1)设F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c2＝a2－b2. |F1F1||F1F2|2由＝22得|DF1|＝＝c. |DF1|222
122
从而S△DF1F2＝|DF1||F1F2|＝c2＝，故c＝1.
2222932
从而|DF1|＝，由DF1⊥F1F2得|DF2|2＝|DF1|2＋|F1F2|2＝，因此|DF2|＝，
222
所以2a＝|DF1|＋|DF2|＝22，故a＝2，b2＝a2－c2＝1.
x22
因此，所求椭圆的标准方程为＋y＝1.
2
x22
(2)如图所示，设圆心在y轴上的圆C与椭圆＋y＝1相交，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是两
2
个交点，y1>0，y2>0，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2.由圆和椭圆的对称性，易知，x2＝－x1，y1＝y2，|P1P2|＝2|x1|. →→由(1)知F1(－1，0)，F2(1，0)，所以F1P1＝(x1＋1，y1)，F2P2＝(－x1－1，y1)．再由F1P1
x241222
⊥F2P2得－(x1＋1)＋y1＝0.由椭圆方程得1－＝(x1＋1)2，即3x1＋4x1＝0，解得x1＝－或
23
x1＝0.
当x1＝0时，P1，P2重合，此时题设要求的圆不存在．
4
当x1＝－时，过P1，P2分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.
3
由F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，知CP1⊥CP2.又|CP1|＝|CP2|，故圆C的
242
半径|CP1|＝|P1P2|＝2|x1|＝. 23
H5 椭圆及其几何性质
x2y2
20．，，[2014·四川卷] 已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的焦距为4，其短轴的两个端点与
ab长轴的一个端点构成正三角形．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x＝－3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.
①证明：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)； |TF|②当最小时，求点T的坐标．
|PQ|
?a2＋b2＝2b，
20．解：(1)由已知可得?
?2c＝2a2－b2＝4，
解得a2＝6，b2＝2，
x2y2
所以椭圆C的标准方程是＋＝1.
62
(2)①证明：由(1)可得，F的坐标是(－2，0)，设T点的坐标为(－3，m)， m－0
则直线TF的斜率kTF＝＝－m.
－3－（－2）
1
当m≠0时，直线PQ的斜率kPQ＝.直线PQ的方程是x＝my－2.
m当m＝0时，直线PQ的方程是x＝－2，也符合x＝my－2的形式．
x＝my－2，??22
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得?xy
＋＝1.??62消去x，得(m2＋3)y2－4my－2＝0，
其判别式Δ＝16m2＋8(m2＋3)>0. －24m
所以y1＋y2＝2，y1y2＝2，
m＋3m＋3－12
x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝2.
m＋3
－62m??设M为PQ的中点，则M点的坐标为?2，2?. ?m＋3m＋3?m
所以直线OM的斜率kOM＝－，
3m
又直线OT的斜率kOT＝－，
3所以点M在直线OT上， 因此OT平分线段PQ. ②由①可得，
|TF|＝m2＋1，
|PQ|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2 ＝（m2＋1）[（y1＋y2）2－4y1y2]
4m?2－2???2
＝（m＋1）?m2＋3－4·2?
?m＋3???24（m2＋1）
＝.
m2＋3|TF|所以＝|PQ|
221（m＋3）·＝ 24m2＋1
41?2
m＋1＋2＋4?≥m＋1?24?13
（4＋4）＝. 243
4|TF|
当且仅当m2＋1＝2，即m＝±1时，等号成立，此时取得最小值．
|PQ|m＋1|TF|
故当最小时，T点的坐标是(－3，1)或(－3，－1)．
|PQ|
y2
14．[2014·安徽卷] 设F1，F2分别是椭圆E：x＋2＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过点
b
2
F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．
3
14．x2＋y2＝1
2
19．、、[2014·北京卷] 已知椭圆C：x2＋2y2＝4. (1)求椭圆C的离心率；
(2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y＝2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x2＋y2＝2的位置关系，并证明你的结论．
x2y2
19．解：(1)由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1.
42所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2. 因此a＝2，c＝2.
c2
故椭圆C的离心率e＝＝. a2
(2)直线AB与圆x2＋y2＝2相切．证明如下： 设点A，B的坐标分别为(x0，y0)，(t，2)， 其中x0≠0.
→→
因为OA⊥OB，所以OA2OB＝0， 2y0即tx0＋2y0＝0，解得t＝－. x0
t2
当x0＝t时，y0＝－，代入椭圆C的方程，
2
得t＝±2，
故直线AB的方程为x＝±2.圆心O到直线AB的距离d＝2， 此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．
y0－2
当x0≠t时，直线AB的方程为y－2＝(x－t)，
x0－t即(y0－2)x－(x0－t)y＋2x0－ty0＝0. 圆心O到直线AB的距离
|2x0－ty0|
d＝.
（y0－2）2＋（x0－t）22y02
又x2＋2y＝4，t＝－，故 00
x0
2
?2x0＋2y0?x0??
＝4y2022
x0＋y0＋2＋4
x0
d＝
?4＋x0??x0?
2x40＋8x0＋16
2x20
2
＝2.
此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．
x2
9．、[2014·福建卷] 设P，Q分别为圆x＋(y－6)＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，
10
2
2
Q两点间的最大距离是( )
A．52 B.46＋2 C．7＋2 D．62
9．D [解析] 设圆心为点C，则圆x2＋(y－6)2＝2的圆心为C(0，6)，半径r＝2.设点x2022
Q(x0，y0)是椭圆上任意一点，则＋y20＝1，即x0＝10－10y0， 10
∴|CQ|＝
210－10y20＋（y0－6）＝
－9y20－12y0＋46＝
2
y0＋?＋50， －9?3??
22
当y0＝－时，|CQ|有最大值5
3则P，Q两点间的最大距离为5
2， 2＋r＝6
2.
x2y25
20．、[2014·广东卷] 已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的一个焦点为(5，0)，离心率为.
ab3(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．
9．、[2014·湖北卷] 已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，
π
且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )
34323A. B. C．3 D．2
339．A
x2y2
21．、、、[2014·湖南卷] 如图1-7，O为坐标原点，椭圆C1：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、
ab
22xy
右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：2－2＝1的左、右焦点分别为F3，F4，离
ab
3心率为e2.已知e1e2＝，且|F2F4|＝3－1.
2
(1)求C1，C2的方程；
(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点．当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．